点Qが直線 $y = x + 2$ 上を動くとき、点A(1, 6)と点Qを結ぶ線分AQを2:1に内分する点Pの軌跡を求めよ。

1. 問題の内容

点Qが直線 $y = x + 2$ 上を動くとき、点A(1, 6)と点Qを結ぶ線分AQを2:1に内分する点Pの軌跡を求めよ。

2. 解き方の手順

点Pの座標を(x, y)とし、点Qの座標を(s, t)とする。

点Qは直線 $y = x + 2$ 上にあるので、

$t = s + 2$

点Pは線分AQを2:1に内分するので、内分点の公式より、

$x = \frac{1 \cdot 1 + 2 \cdot s}{2+1}$

$y = \frac{1 \cdot 6 + 2 \cdot t}{2+1}$

これを整理すると、

$x = \frac{1 + 2s}{3}$

$y = \frac{6 + 2t}{3}$

これらの式をs, tについて解くと、

$3x = 1 + 2s$

$s = \frac{3x - 1}{2}$

$3y = 6 + 2t$

$t = \frac{3y - 6}{2}$

これらを、$t = s + 2$に代入すると、

$\frac{3y - 6}{2} = \frac{3x - 1}{2} + 2$

両辺に2を掛けると、

$3y - 6 = 3x - 1 + 4$

$3y - 6 = 3x + 3$

$3y = 3x + 9$

$y = x + 3$

3. 最終的な答え

$y = x + 3$