三角形ABCにおいて、$AB=2$, $AC=2\sqrt{3}$, $\cos A = -\frac{\sqrt{3}}{3}$である。 (1) このとき、$BC$の値と$\sin B$の値を求めよ。 (2) さらに、点Dは辺BC上にあり、$\cos \angle BAD = \frac{2\sqrt{2}}{3}$である。このとき、$AB = \frac{2\sqrt{2}}{3}AD + \frac{\sqrt{\text{オ}}}{\text{カ}}BD$であり、また、正弦定理により$AD = \sqrt{\text{キ}}BD$となる。 この問題では、$BC$, $\sin B$, $\sqrt{\text{オ}}$, $\text{カ}$, $\sqrt{\text{キ}}$の値を求める必要がある。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=2$, $AC=2\sqrt{3}$, $\cos A = -\frac{\sqrt{3}}{3}$である。

(1) このとき、$BC$の値と$\sin B$の値を求めよ。

(2) さらに、点Dは辺BC上にあり、$\cos \angle BAD = \frac{2\sqrt{2}}{3}$である。このとき、$AB = \frac{2\sqrt{2}}{3}AD + \frac{\sqrt{\text{オ}}}{\text{カ}}BD$であり、また、正弦定理により$AD = \sqrt{\text{キ}}BD$となる。

この問題では、$BC$, $\sin B$, $\sqrt{\text{オ}}$, $\text{カ}$, $\sqrt{\text{キ}}$の値を求める必要がある。

2. 解き方の手順

(1)

まず、余弦定理を用いて$BC$を求める。

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A$

$BC^2 = 2^2 + (2\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{3})$

$BC^2 = 4 + 12 + 8 = 24$

$BC = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$

したがって、ア=2, イ=6。

次に、$\sin A$を求める。

$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$より

$\sin^2 A = 1 - \cos^2 A = 1 - (-\frac{\sqrt{3}}{3})^2 = 1 - \frac{3}{9} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

$\sin A = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$ (Aは三角形の内角なので正)

正弦定理より、$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}$

$\sin B = \frac{AC \sin A}{BC} = \frac{2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{6}}{3}}{2\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{3} \sqrt{6}}{6\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

したがって、ウ=3, エ=3。

(2)

$AB = \frac{2\sqrt{2}}{3}AD + \frac{\sqrt{\text{オ}}}{\text{カ}}BD$については、点Dが辺BC上にあることから、ベクトルを用いた内分点の考え方を使う。この場合、メネラウスの定理などを利用する可能性もあるが、ここでは保留。

正弦定理により$AD = \sqrt{\text{キ}}BD$となる。これは、$\triangle ABD$で正弦定理を使うことを示唆している。

$\angle BAD$の$\cos$が与えられているので、$\sin \angle BAD$を求める。

$\sin^2 \angle BAD + \cos^2 \angle BAD = 1$

$\sin^2 \angle BAD = 1 - (\frac{2\sqrt{2}}{3})^2 = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$

$\sin \angle BAD = \frac{1}{3}$

$\frac{BD}{\sin \angle BAD} = \frac{AD}{\sin B}$

$AD = \frac{BD \sin B}{\sin \angle BAD} = \frac{BD \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{1}{3}} = \sqrt{3} BD$

したがって、$\sqrt{\text{キ}} = \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

BC = $2\sqrt{6}$

$\sin B = \frac{\sqrt{3}}{3}$

AD = $\sqrt{3}$ BD

キ=3