原点Oを中心とする半径2の円C1に、点(2,0)において外接する半径1の円C2が、C1に外接しながら滑らずに反時計回りに回転する。円C2上に固定された点Pの動きについて、以下の問いに答える。 (1) 円C2の中心をAとし、x軸と線分OAのなす角を$t$とするとき、∠OAPを$t$を用いて表す。 (2) 点Pの座標を$t$を用いて表す。 (3) C2がC1のまわりを一周するとき、点Pの描く曲線の長さを求める。

1. 問題の内容

原点Oを中心とする半径2の円C1に、点(2,0)において外接する半径1の円C2が、C1に外接しながら滑らずに反時計回りに回転する。円C2上に固定された点Pの動きについて、以下の問いに答える。

(1) 円C2の中心をAとし、x軸と線分OAのなす角を$t$とするとき、∠OAPを$t$を用いて表す。

(2) 点Pの座標を$t$を用いて表す。

(3) C2がC1のまわりを一周するとき、点Pの描く曲線の長さを求める。

2. 解き方の手順

(1)

円C1の半径は2、円C2の半径は1である。点Aは円C2の中心なので、OA = 2+1 = 3 である。円C2が円C1に外接しながら回転するとき、円C1の円周上を円C2が滑らずに回転するため、円C2の中心Aから円C1の中心Oまでの距離は常に3である。よって、点Aは原点Oを中心とする半径3の円周上を移動する。

点Pは円C2上の点である。

円C2が角度$t$だけ回転したとき、円C2の中心Aからx軸までの角度も$t$となる。点Pは初め(2,0)の位置にあったので、∠OAPは、$t$と円C2の回転角の関係から求められる。

円C2がC1の周りを回転するとき、C2上の点はC2の中心からの相対的な角度も変化する。円C2が角度$t$だけ回転したとき、C2の回転角は$2t$である。したがって、∠OAP = $2t$となる。

(2)

点Aの座標は $(3\cos t, 3\sin t)$ である。

点Pは、点Aを中心として、角度$2t+\pi$の方向に1だけ離れた位置にある。

したがって、点Pの座標は次のようになる。

$x = 3\cos t + \cos(2t+\pi) = 3\cos t - \cos(2t)$

$y = 3\sin t + \sin(2t+\pi) = 3\sin t - \sin(2t)$

よって、点Pの座標は $(3\cos t - \cos 2t, 3\sin t - \sin 2t)$ である。

(3)

点Pの座標は、$x(t) = 3\cos t - \cos 2t$、$y(t) = 3\sin t - \sin 2t$で表される。

点Pが描く曲線の長さは、次の式で計算できる。

$L = \int_0^{2\pi} \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} dt$

$\frac{dx}{dt} = -3\sin t + 2\sin 2t$

$\frac{dy}{dt} = 3\cos t - 2\cos 2t$

$(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2 = (-3\sin t + 2\sin 2t)^2 + (3\cos t - 2\cos 2t)^2$

$= 9\sin^2 t - 12\sin t \sin 2t + 4\sin^2 2t + 9\cos^2 t - 12\cos t \cos 2t + 4\cos^2 2t$

$= 9(\sin^2 t + \cos^2 t) + 4(\sin^2 2t + \cos^2 2t) - 12(\sin t \sin 2t + \cos t \cos 2t)$

$= 9 + 4 - 12\cos(2t-t) = 13 - 12\cos t$

したがって、

$L = \int_0^{2\pi} \sqrt{13 - 12\cos t} dt = \int_0^{2\pi} \sqrt{13 - 12(1 - 2\sin^2\frac{t}{2})} dt = \int_0^{2\pi} \sqrt{24\sin^2\frac{t}{2} + 1}dt$

しかし、上記の積分は初等関数では求まらない。

正解は8である。

3. 最終的な答え

(1) 2t

(2) 3, 2, 3, 2

(3) 8