xy平面において、原点を中心とする半径2の円$C_1$がある。点(2,0)において$C_1$に外接している半径1の円$C_2$が、$C_1$に外接しながら滑らずに反時計回りに回転を始めた。円$C_2$上に固定され、始め点(2,0)の位置にある点Pの動きを考える。 (1) 円$C_2$の中心をAとし、図のようにx軸と線分OAのなす角をtとするとき、$\angle OAP$をtを用いて表す。 (2) 点Pの座標をtを用いて表す。 (3) $C_2$が$C_1$のまわりを一周するとき、点Pの描く曲線の長さを求める。

はい、承知いたしました。問題の解答を作成します。

1. 問題の内容

xy平面において、原点を中心とする半径2の円$C_1$がある。点(2,0)において$C_1$に外接している半径1の円$C_2$が、$C_1$に外接しながら滑らずに反時計回りに回転を始めた。円$C_2$上に固定され、始め点(2,0)の位置にある点Pの動きを考える。

(1) 円$C_2$の中心をAとし、図のようにx軸と線分OAのなす角をtとするとき、$\angle OAP$をtを用いて表す。

(2) 点Pの座標をtを用いて表す。

(3) $C_2$が$C_1$のまわりを一周するとき、点Pの描く曲線の長さを求める。

2. 解き方の手順

(1)

点Aは円$C_1$の中心Oから距離3の位置にあり、$\angle AOX = t$である。点Pは、円$C_2$上で点Aから見てx軸方向に-1、y軸方向に0の位置にある。よって、$\angle OAP = \pi - t$となる。

(2)

点Aの座標は$(3 \cos t, 3 \sin t)$である。点Pは円$C_2$上で点Aから見て角度$-(π-t) = t - π$方向に距離1の位置にあるので、点Pの座標は次のように表せる。

$P(3 \cos t + \cos(t - \pi), 3 \sin t + \sin(t - \pi))$

$\cos(t - \pi) = - \cos t$

$\sin(t - \pi) = - \sin t$

したがって、点Pの座標は

$P(3 \cos t - \cos t, 3 \sin t - \sin t) = (2 \cos t, 2 \sin t)$となる。

(3)

点Pの座標は$(2 \cos t, 2 \sin t)$なので、

$x(t) = 2 \cos t$

$y(t) = 2 \sin t$

$\frac{dx}{dt} = -2 \sin t$

$\frac{dy}{dt} = 2 \cos t$

$L = \int_0^{2\pi} \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} dt$

$L = \int_0^{2\pi} \sqrt{(-2 \sin t)^2 + (2 \cos t)^2} dt$

$L = \int_0^{2\pi} \sqrt{4 \sin^2 t + 4 \cos^2 t} dt$

$L = \int_0^{2\pi} \sqrt{4} dt$

$L = \int_0^{2\pi} 2 dt$

$L = 2[t]_0^{2\pi} = 2(2\pi - 0) = 4\pi$

3. 最終的な答え

(1) $\angle OAP = \pi - t$

(2) $P(2 \cos t, 2 \sin t)$

(3) $4\pi$