この問題は、三角関数の基本的な問題です。角度が与えられたときに、その角度がどの象限にあるかを求めたり、三角関数の値を求めたり、扇形の弧の長さと面積を計算したりします。

1. 問題の内容

この問題は、三角関数の基本的な問題です。角度が与えられたときに、その角度がどの象限にあるかを求めたり、三角関数の値を求めたり、扇形の弧の長さと面積を計算したりします。

2. 解き方の手順

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1. 角度がどの象限にあるかを求める**

(1) $680^\circ$ は、1回転($360^\circ$)より大きいので、まず$680^\circ - 360^\circ = 320^\circ$を計算します。$320^\circ$は第4象限にあります。

(2) $-484^\circ$ は、$-484^\circ + 360^\circ = -124^\circ$です。$-124^\circ$は$-124^\circ + 360^\circ = 236^\circ$とも表せます。$236^\circ$は第3象限にあります。

(3) $\frac{53}{12}\pi$は、$\frac{53}{12}\pi = \frac{48+5}{12}\pi = 4\pi + \frac{5}{12}\pi$です。$4\pi$は2回転を表すので、$\frac{5}{12}\pi$を考えます。$\frac{5}{12}\pi$は$0<\frac{5}{12}<1$なので、$\frac{5}{12}\pi$は第1象限にあります。

(4) $-\frac{26}{5}\pi$は、$-\frac{26}{5}\pi = -\frac{25+1}{5}\pi = -5\pi - \frac{1}{5}\pi$です。$-5\pi$は$-2\pi \times 2 - \pi$と考えることができ、$-\pi - \frac{1}{5}\pi$になります。$-\pi$は半回転を表し、$-\frac{1}{5}\pi$はそこからさらに$-\frac{1}{5}\pi$回転するので、第2象限にあります。

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2. 三角関数の値を求める**

(1) $\cos(-510^\circ) = \cos(-510^\circ + 360^\circ \times 2) = \cos(210^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

(2) $\sin(\frac{11}{6}\pi) = \sin(\frac{12-1}{6}\pi) = \sin(2\pi - \frac{1}{6}\pi) = \sin(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$.

(3) $\cos(\frac{21}{6}\pi) = \cos(\frac{7}{2}\pi) = \cos(\frac{6+1}{2}\pi) = \cos(3\pi + \frac{\pi}{2}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$.

(4) $\tan(-\frac{14}{3}\pi) = \tan(-\frac{14}{3}\pi + 5\pi) = \tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$.

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3. 扇形の弧の長さと面積を計算する**

扇形の弧の長さ$l$は、$l = r\theta$で計算され、扇形の面積$A$は、$A = \frac{1}{2}r^2\theta$で計算されます。ここで、$r$は半径、$\theta$は中心角です。

(1) 弧の長さ: $l = 12 \times \frac{5}{6}\pi = 10\pi$ cm

(2) 面積: $A = \frac{1}{2} \times 12^2 \times \frac{5}{6}\pi = \frac{1}{2} \times 144 \times \frac{5}{6}\pi = 12 \times 5 \pi = 60\pi$ cm$^2$

3. 最終的な答え

ア: 4

イ: 3

ウ: 1

エ: 2

オ: -$\frac{\sqrt{3}}{2}$

カ: -$\frac{1}{2}$

キ: 0

ク: $\sqrt{3}$

ケ: $10\pi$

コ: $60\pi$