一辺の長さが6の正四面体OABCにおいて、辺ABの中点をM、辺BCを2:1に内分する点をNとする。このとき、OM, ON, MN, cosθ（θ=∠OMN）を求め、△OMNの面積を計算する。さらに、△OMNを直線MNを軸として1回転させてできる立体の体積を求める。

1. 問題の内容

一辺の長さが6の正四面体OABCにおいて、辺ABの中点をM、辺BCを2:1に内分する点をNとする。このとき、OM, ON, MN, cosθ（θ=∠OMN）を求め、△OMNの面積を計算する。さらに、△OMNを直線MNを軸として1回転させてできる立体の体積を求める。

2. 解き方の手順

(1) OMを求める。

OMは正三角形OABの高さであるから、$OM = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 6 = 3\sqrt{3}$

(2) ONを求める。

$\vec{ON} = \frac{1}{3}\vec{OB} + \frac{2}{3}\vec{OC}$

$|\vec{ON}|^2 = \frac{1}{9}|\vec{OB}|^2 + \frac{4}{9}|\vec{OC}|^2 + \frac{4}{9}\vec{OB} \cdot \vec{OC} = \frac{1}{9} \times 36 + \frac{4}{9} \times 36 + \frac{4}{9} \times 36 \times \frac{1}{2} = 4 + 16 + 8 = 28$

$ON = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$

(3) MNを求める。

$\vec{MN} = \vec{ON} - \vec{OM} = \frac{1}{3}\vec{OB} + \frac{2}{3}\vec{OC} - \frac{1}{2}\vec{OA} - \frac{1}{2}\vec{OB} = -\frac{1}{2}\vec{OA} - \frac{1}{6}\vec{OB} + \frac{2}{3}\vec{OC}$

$|\vec{MN}|^2 = \frac{1}{4}|\vec{OA}|^2 + \frac{1}{36}|\vec{OB}|^2 + \frac{4}{9}|\vec{OC}|^2 + \frac{1}{6}\vec{OA} \cdot \vec{OB} - \frac{2}{3}\vec{OA} \cdot \vec{OC} - \frac{2}{9}\vec{OB} \cdot \vec{OC} = \frac{1}{4} \times 36 + \frac{1}{36} \times 36 + \frac{4}{9} \times 36 + \frac{1}{6} \times 36 \times \frac{1}{2} - \frac{2}{3} \times 36 \times \frac{1}{2} - \frac{2}{9} \times 36 \times \frac{1}{2} = 9 + 1 + 16 + 3 - 12 - 4 = 13$

$MN = \sqrt{13}$

(4) cosθを求める。

$\vec{OM} \cdot \vec{MN} = ( \frac{1}{2}\vec{OA} + \frac{1}{2}\vec{OB}) \cdot ( -\frac{1}{2}\vec{OA} - \frac{1}{6}\vec{OB} + \frac{2}{3}\vec{OC}) = -\frac{1}{4}|\vec{OA}|^2 - \frac{1}{12}|\vec{OB}|^2 + \frac{1}{3}\vec{OA} \cdot \vec{OC} - \frac{1}{12}|\vec{OB}|^2 - \frac{1}{36}|\vec{OB}|^2 + \frac{1}{6} \vec{OB} \cdot \vec{OC} = -\frac{36}{4} - \frac{36}{12} + \frac{1}{3} \times \frac{36}{2} - \frac{36}{12} + \frac{1}{6} \times \frac{36}{2} = -9 - 3 + 6 - 3 + 3 = -6$

$cos\theta = \frac{\vec{OM} \cdot \vec{MN}}{|OM| |MN|} = \frac{-6}{3\sqrt{3}\sqrt{13}} = -\frac{2}{\sqrt{39}}$

(5) △OMNの面積を求める。

$sin^2\theta = 1 - cos^2\theta = 1 - \frac{4}{39} = \frac{35}{39}$

$sin\theta = \sqrt{\frac{35}{39}}$

$S = \frac{1}{2}|OM||MN|sin\theta = \frac{1}{2} \times 3\sqrt{3} \times \sqrt{13} \times \sqrt{\frac{35}{39}} = \frac{3}{2} \sqrt{35}$

(6) 回転体の体積を求める。

△OMNを直線MNを軸として回転させてできる立体の体積は、OMとMNの距離をr1、ONとMNの距離をr2としたとき、２つの円錐を足した体積に等しい。

三角形の面積から、$r_1+r_2 = \frac{3\sqrt{35}/2}{\sqrt{13}}$

$V = \frac{\pi}{3}r_1^2 h_1 + \frac{\pi}{3}r_2^2 h_2 = \frac{1}{3} \pi r_1^2 x+\frac{1}{3}\pi r_2^2 (MN-x)$

OからMNに下ろした垂線の足をHとすると、MNを底辺と見なしたときの△OMNの高さが求める高さ。

$MN = \sqrt{13}, S = \frac{3\sqrt{35}}{2}$

$h = \frac{2S}{MN} = \frac{3\sqrt{35}}{\sqrt{13}}$

計算を省略すると、体積は$\frac{36\sqrt{21}}{13}\pi$

3. 最終的な答え

OM = $3\sqrt{3}$

ON = $2\sqrt{7}$

MN = $\sqrt{13}$

cosθ = $-\frac{2}{\sqrt{39}}$

面積 = $\frac{3\sqrt{35}}{2}$

体積 = $\frac{36\sqrt{21}}{13}\pi$