一直線上にない空間の3点A($\vec{a}$), B($\vec{b}$), C($\vec{c}$)に対して、次の点の位置ベクトルを$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$を用いて表す。 (1) 線分ABを3:2に内分する点D($\vec{d}$)と外分する点E($\vec{e}$) (2) 線分ACの中点M($\vec{m}$) (3) $\triangle$ABMの重心G($\vec{g}$)

1. 問題の内容

一直線上にない空間の3点A($\vec{a}$), B($\vec{b}$), C($\vec{c}$)に対して、次の点の位置ベクトルを$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$を用いて表す。

(1) 線分ABを3:2に内分する点D($\vec{d}$)と外分する点E($\vec{e}$)

(2) 線分ACの中点M($\vec{m}$)

(3) $\triangle$ABMの重心G($\vec{g}$)

2. 解き方の手順

(1) 線分ABを3:2に内分する点Dの位置ベクトル$\vec{d}$は、内分点の公式より

$\vec{d} = \frac{2\vec{a} + 3\vec{b}}{3+2} = \frac{2\vec{a} + 3\vec{b}}{5}$

線分ABを3:2に外分する点Eの位置ベクトル$\vec{e}$は、外分点の公式より

$\vec{e} = \frac{-2\vec{a} + 3\vec{b}}{3-2} = -2\vec{a} + 3\vec{b}$

(2) 線分ACの中点Mの位置ベクトル$\vec{m}$は、中点の公式より

$\vec{m} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2}$

(3) $\triangle$ABMの重心Gの位置ベクトル$\vec{g}$は、重心の公式より

$\vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{m}}{3}$

$\vec{m} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2}$を代入して

$\vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2}}{3} = \frac{2\vec{a} + 2\vec{b} + \vec{a} + \vec{c}}{6} = \frac{3\vec{a} + 2\vec{b} + \vec{c}}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{d} = \frac{2\vec{a} + 3\vec{b}}{5}$

$\vec{e} = -2\vec{a} + 3\vec{b}$

(2) $\vec{m} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2}$

(3) $\vec{g} = \frac{3\vec{a} + 2\vec{b} + \vec{c}}{6}$