ベクトル $\vec{a} = (0, 2, 1)$ と $\vec{b} = (2, -2, 1)$ の両方に垂直で、大きさが3のベクトル $\vec{p}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (0, 2, 1)$ と $\vec{b} = (2, -2, 1)$ の両方に垂直で、大きさが3のベクトル $\vec{p}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の両方に垂直なベクトルを求めるために、外積 $\vec{a} \times \vec{b}$ を計算します。

$\vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)$

$\vec{a} \times \vec{b} = (2\cdot1 - 1\cdot(-2), 1\cdot2 - 0\cdot1, 0\cdot(-2) - 2\cdot2)$

$\vec{a} \times \vec{b} = (2 + 2, 2 - 0, 0 - 4) = (4, 2, -4)$

次に、$\vec{a} \times \vec{b} = (4, 2, -4)$ の大きさを求めます。

$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{4^2 + 2^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 4 + 16} = \sqrt{36} = 6$

次に、$\vec{a} \times \vec{b}$ と同じ方向を向く単位ベクトル $\vec{e}$ を求めます。

$\vec{e} = \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|} = \frac{(4, 2, -4)}{6} = (\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, -\frac{2}{3})$

求めるベクトル $\vec{p}$ は大きさが3なので、$\vec{e}$ を3倍すれば良いです。

$\vec{p} = 3\vec{e} = 3(\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, -\frac{2}{3}) = (2, 1, -2)$

$\vec{a} \times \vec{b}$ の向きが逆のベクトルも条件を満たすので、$-\vec{p}$ も解となります。

$-\vec{p} = -3\vec{e} = -3(\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, -\frac{2}{3}) = (-2, -1, 2)$

3. 最終的な答え

$\vec{p} = (2, 1, -2), (-2, -1, 2)$