四面体OABCにおいて、辺ABを2:1に内分する点をD, 線分CDを3:2に内分する点をPとする。$\overrightarrow{OP}$を$\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OC}$を用いて表せ。

1. 問題の内容

四面体OABCにおいて、辺ABを2:1に内分する点をD, 線分CDを3:2に内分する点をPとする。$\overrightarrow{OP}$を$\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OC}$を用いて表せ。

2. 解き方の手順

まず、点Dが辺ABを2:1に内分することから、$\overrightarrow{OD}$を$\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{OB}$で表します。内分点の公式より、

$$\overrightarrow{OD} = \frac{1 \cdot \overrightarrow{OA} + 2 \cdot \overrightarrow{OB}}{2+1} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OB}$$

次に、点Pが線分CDを3:2に内分することから、$\overrightarrow{OP}$を$\overrightarrow{OC}$と$\overrightarrow{OD}$で表します。内分点の公式より、

$$\overrightarrow{OP} = \frac{2 \cdot \overrightarrow{OC} + 3 \cdot \overrightarrow{OD}}{3+2} = \frac{2}{5}\overrightarrow{OC} + \frac{3}{5}\overrightarrow{OD}$$

最後に、$\overrightarrow{OD}$を$\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{OB}$で表した式を代入して、$\overrightarrow{OP}$を$\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OC}$で表します。

$$\overrightarrow{OP} = \frac{2}{5}\overrightarrow{OC} + \frac{3}{5}\left(\frac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OB}\right)$$

$$= \frac{2}{5}\overrightarrow{OC} + \frac{1}{5}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{5}\overrightarrow{OB}$$

$$= \frac{1}{5}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{5}\overrightarrow{OB} + \frac{2}{5}\overrightarrow{OC}$$

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{OP} = \frac{1}{5}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{5}\overrightarrow{OB} + \frac{2}{5}\overrightarrow{OC}$