点A(1, -4)と点B(3, 2)が与えられている。 (1) 点Aを通り、傾きが-2の直線の方程式を求める。 (2) 2点A, Bを通る直線の方程式を求める。 (3) 点Aを通り、直線 $3x + 2y + 1 = 0$ に平行な直線と垂直な直線の方程式を求める。

1. 問題の内容

点A(1, -4)と点B(3, 2)が与えられている。

(1) 点Aを通り、傾きが-2の直線の方程式を求める。

(2) 2点A, Bを通る直線の方程式を求める。

(3) 点Aを通り、直線 $3x + 2y + 1 = 0$ に平行な直線と垂直な直線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点A(1, -4)を通り、傾きが-2の直線の方程式を求める。

直線の方程式の公式 $y - y_1 = m(x - x_1)$ を使う。ここで、$(x_1, y_1) = (1, -4)$、m = -2。

$y - (-4) = -2(x - 1)$

$y + 4 = -2x + 2$

$y = -2x - 2$

(2) 2点A(1, -4), B(3, 2)を通る直線の方程式を求める。

まず、傾きmを求める。

$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{2 - (-4)}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3$

次に、点A(1, -4)を通り、傾きが3の直線の方程式を求める。

$y - (-4) = 3(x - 1)$

$y + 4 = 3x - 3$

$y = 3x - 7$

(3) 点A(1, -4)を通り、直線 $3x + 2y + 1 = 0$ に平行な直線と垂直な直線の方程式を求める。

与えられた直線 $3x + 2y + 1 = 0$ を $y = mx + c$ の形に変形する。

$2y = -3x - 1$

$y = -\frac{3}{2}x - \frac{1}{2}$

この直線の傾きは $m = -\frac{3}{2}$ である。

平行な直線の傾きは同じなので、点A(1, -4)を通り傾き $-\frac{3}{2}$ の直線の方程式は

$y - (-4) = -\frac{3}{2}(x - 1)$

$y + 4 = -\frac{3}{2}x + \frac{3}{2}$

$y = -\frac{3}{2}x + \frac{3}{2} - 4 = -\frac{3}{2}x - \frac{5}{2}$

垂直な直線の傾きは、$m_{垂直} = -\frac{1}{m} = -\frac{1}{-\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}$ となる。

点A(1, -4)を通り傾き $\frac{2}{3}$ の直線の方程式は

$y - (-4) = \frac{2}{3}(x - 1)$

$y + 4 = \frac{2}{3}x - \frac{2}{3}$

$y = \frac{2}{3}x - \frac{2}{3} - 4 = \frac{2}{3}x - \frac{14}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $y = -2x - 2$

(2) $y = 3x - 7$

(3) 平行な直線: $y = -\frac{3}{2}x - \frac{5}{2}$

垂直な直線: $y = \frac{2}{3}x - \frac{14}{3}$