(2) 4点A(5, 2, 5), B(4, 2, 3), C(3, 1, 2), D(-2, -1, z)が同一平面上にあるとき、$z$の値を求めよ。

1. 問題の内容

(2) 4点A(5, 2, 5), B(4, 2, 3), C(3, 1, 2), D(-2, -1, z)が同一平面上にあるとき、$z$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

4点A, B, C, Dが同一平面上にあるとき、$\overrightarrow{AD}$ は $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ の線形結合で表すことができます。つまり、実数$s, t$を用いて、

$\overrightarrow{AD} = s\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AC}$

と表すことができます。

$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 4-5 \\ 2-2 \\ 3-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 3-5 \\ 1-2 \\ 2-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{AD} = \begin{pmatrix} -2-5 \\ -1-2 \\ z-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 \\ -3 \\ z-5 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} -7 \\ -3 \\ z-5 \end{pmatrix} = s\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -s-2t \\ -t \\ -2s-3t \end{pmatrix}$

したがって、

$-7 = -s-2t$

$-3 = -t$

$z-5 = -2s-3t$

2番目の式より、$t = 3$ が得られます。

これを1番目の式に代入すると、

$-7 = -s-2(3)$

$-7 = -s-6$

$s = 1$

となります。

$s = 1, t = 3$ を3番目の式に代入すると、

$z-5 = -2(1)-3(3)$

$z-5 = -2-9$

$z-5 = -11$

$z = -11+5$

$z = -6$

3. 最終的な答え

$z = -6$