与えられた2つのベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が垂直になるように、$x$ の値を定める問題です。2つの小問題があります。 (1) $\vec{a} = (2, -8, -3)$ と $\vec{b} = (x-2, -4, 3)$ (2) $\vec{a} = (1, 2, x)$ と $\vec{b} = (-x^2, 2, 3)$

1. 問題の内容

与えられた2つのベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が垂直になるように、$x$ の値を定める問題です。2つの小問題があります。

(1) $\vec{a} = (2, -8, -3)$ と $\vec{b} = (x-2, -4, 3)$

(2) $\vec{a} = (1, 2, x)$ と $\vec{b} = (-x^2, 2, 3)$

2. 解き方の手順

ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が垂直であるとき、それらの内積は0になります。すなわち、$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ が成り立ちます。

それぞれの小問題について、この条件を使って $x$ の値を求めます。

(1) $\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(x-2) + (-8)(-4) + (-3)(3) = 0$

$2x - 4 + 32 - 9 = 0$

$2x + 19 = 0$

$2x = -19$

$x = -\frac{19}{2}$

(2) $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(-x^2) + (2)(2) + (x)(3) = 0$

$-x^2 + 4 + 3x = 0$

$x^2 - 3x - 4 = 0$

$(x-4)(x+1) = 0$

$x = 4$ または $x = -1$

3. 最終的な答え

(1) $x = -\frac{19}{2}$

(2) $x = 4, -1$