四面体ABCDにおいて、点A, B, C, Dの位置ベクトルをそれぞれ$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, $\vec{d}$とする。辺ACの中点をM, 辺BDの中点をNとするとき、次の等式を証明する。 $\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{CB} + \vec{CD} = 4\vec{MN}$

1. 問題の内容

四面体ABCDにおいて、点A, B, C, Dの位置ベクトルをそれぞれ$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, $\vec{d}$とする。辺ACの中点をM, 辺BDの中点をNとするとき、次の等式を証明する。

$\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{CB} + \vec{CD} = 4\vec{MN}$

2. 解き方の手順

まず、中点の位置ベクトルを求める。

点Mは辺ACの中点なので、

$\vec{OM} = \frac{\vec{OA} + \vec{OC}}{2} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2}$

点Nは辺BDの中点なので、

$\vec{ON} = \frac{\vec{OB} + \vec{OD}}{2} = \frac{\vec{b} + \vec{d}}{2}$

次に、$\vec{MN}$を位置ベクトルで表す。

$\vec{MN} = \vec{ON} - \vec{OM}$

$\vec{MN} = \frac{\vec{b} + \vec{d}}{2} - \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2}$

$\vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{d} - \vec{a} - \vec{c})$

次に、$\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{CB} + \vec{CD}$を位置ベクトルで表す。

$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$

$\vec{AD} = \vec{d} - \vec{a}$

$\vec{CB} = \vec{b} - \vec{c}$

$\vec{CD} = \vec{d} - \vec{c}$

$\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{CB} + \vec{CD} = (\vec{b} - \vec{a}) + (\vec{d} - \vec{a}) + (\vec{b} - \vec{c}) + (\vec{d} - \vec{c})$

$\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{CB} + \vec{CD} = 2\vec{b} + 2\vec{d} - 2\vec{a} - 2\vec{c}$

$\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{CB} + \vec{CD} = 2(\vec{b} + \vec{d} - \vec{a} - \vec{c})$

$\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{CB} + \vec{CD} = 2(\vec{b} + \vec{d} - \vec{a} - \vec{c}) = 4 \cdot \frac{1}{2} (\vec{b} + \vec{d} - \vec{a} - \vec{c})$

$\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{CB} + \vec{CD} = 4 \vec{MN}$

3. 最終的な答え

$\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{CB} + \vec{CD} = 4\vec{MN}$