実数 $x, y$ に対して、「$x^2 + y^2 < 1$ ならば $(x+1)^2 + y^2 < 4$ である」ことを証明せよ。

1. 問題の内容

実数 $x, y$ に対して、「$x^2 + y^2 < 1$ ならば $(x+1)^2 + y^2 < 4$ である」ことを証明せよ。

2. 解き方の手順

与えられた不等式 $x^2 + y^2 < 1$ の表す領域を $P$ とし、$(x+1)^2 + y^2 < 4$ の表す領域を $Q$ とする。このとき、$P \subset Q$ が成り立つことを示す。

領域 $P$ は円 $x^2 + y^2 = 1$ の内部であり、領域 $Q$ は円 $(x+1)^2 + y^2 = 4$ の内部である。

円 $x^2 + y^2 = 1$ は原点を中心とする半径1の円であり、円 $(x+1)^2 + y^2 = 4$ は $(-1, 0)$ を中心とする半径2の円である。

図を見ると、円 $x^2 + y^2 = 1$ の内部は円 $(x+1)^2 + y^2 = 4$ の内部に含まれていることがわかる。したがって、$P \subset Q$ が成り立つ。

よって、$x^2 + y^2 < 1$ ならば $(x+1)^2 + y^2 < 4$ である。

3. 最終的な答え

$x^2 + y^2 < 1$ ならば $(x+1)^2 + y^2 < 4$ である。