点Oを始点とするベクトル $\vec{a}$ = $\vec{OA}$、$\vec{b}$ = $\vec{OB}$ が与えられている。線分ADと線分BCの交点をPとする。$\vec{OP}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ を用いて表す問題を解く。ただし、Dは線分OBを2:3に内分する点であり、PはAD上かつBC上にある。

1. 問題の内容

点Oを始点とするベクトル $\vec{a}$ = $\vec{OA}$、$\vec{b}$ = $\vec{OB}$ が与えられている。線分ADと線分BCの交点をPとする。$\vec{OP}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ を用いて表す問題を解く。ただし、Dは線分OBを2:3に内分する点であり、PはAD上かつBC上にある。

2. 解き方の手順

まず、点Dは線分OBを2:3に内分するので、

$\vec{OD} = \frac{2}{5}\vec{OB} = \frac{2}{5}\vec{b}$

次に、PはAD上にあるので、実数sを用いて、

$\vec{OP} = (1-s)\vec{OA} + s\vec{OD} = (1-s)\vec{a} + s(\frac{2}{5}\vec{b}) = (1-s)\vec{a} + \frac{2s}{5}\vec{b}$

また、PはBC上にあるので、実数tを用いて、

$\vec{OP} = (1-t)\vec{OB} + t\vec{OC}$

$\vec{OC}$ は$\vec{OA}$と向きが同じなのでkを実数として、$\vec{OC}=k\vec{OA} =k\vec{a}$と表せる。

よって、

$\vec{OP}=(1-t)\vec{OB}+t\vec{OC} = (1-t)\vec{b}+tk\vec{a} = tk\vec{a} + (1-t)\vec{b}$

$\vec{a}$と$\vec{b}$は一次独立なので、係数を比較して、

$1-s = tk$

$\frac{2s}{5} = 1-t$

$\frac{2s}{5} = 1-t$ より $t = 1 - \frac{2s}{5}$

これを $1-s = tk$に代入すると、 $1-s = (1 - \frac{2s}{5})k$

また、Cは直線OA上にあり、PはBC上にあるので、$\vec{OC}$ =k$\vec{OA}$と表せることが不明。

画像からは、$\vec{OC}=\frac{3}{5}\vec{a}$と読み取れるので、k = $\frac{3}{5}$とする。

$1-s = (1-\frac{2s}{5}) \frac{3}{5}$

$5(1-s)=(5-2s)\frac{3}{5}$

$25-25s=15-6s$

$10=19s$

$s=\frac{10}{19}$

$\vec{OP} = (1-s)\vec{a} + \frac{2s}{5}\vec{b}$ に $s=\frac{10}{19}$を代入すると、

$\vec{OP}=(1-\frac{10}{19})\vec{a} + \frac{2}{5}\frac{10}{19}\vec{b} = \frac{9}{19}\vec{a} + \frac{4}{19}\vec{b}$

3. 最終的な答え

$\vec{OP} = \frac{9}{19}\vec{a} + \frac{4}{19}\vec{b}$