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次の定積分を計算する問題です。 $\int_{-1}^{2} (x^2 + 7) dx - \int_{-1}^{2} (4x^2 - 6x + 7) dx$

解析学定積分積分計算
2025/4/7

1. 問題の内容

次の定積分を計算する問題です。
∫−12(x2+7)dx−∫−12(4x2−6x+7)dx\int_{-1}^{2} (x^2 + 7) dx - \int_{-1}^{2} (4x^2 - 6x + 7) dx

2. 解き方の手順

まず、2つの積分を一つにまとめます。積分区間が同じなので、被積分関数をまとめることができます。
∫−12(x2+7)dx−∫−12(4x2−6x+7)dx=∫−12[(x2+7)−(4x2−6x+7)]dx\int_{-1}^{2} (x^2 + 7) dx - \int_{-1}^{2} (4x^2 - 6x + 7) dx = \int_{-1}^{2} [(x^2 + 7) - (4x^2 - 6x + 7)] dx
次に、被積分関数を整理します。
∫−12(x2+7−4x2+6x−7)dx=∫−12(−3x2+6x)dx\int_{-1}^{2} (x^2 + 7 - 4x^2 + 6x - 7) dx = \int_{-1}^{2} (-3x^2 + 6x) dx
次に、積分を行います。
∫−12(−3x2+6x)dx=[−x3+3x2]−12\int_{-1}^{2} (-3x^2 + 6x) dx = [-x^3 + 3x^2]_{-1}^{2}
積分範囲の上端と下端の値を代入して計算します。
[−23+3(22)]−[−(−1)3+3(−1)2]=[−8+12]−[1+3]=4−4=0[-2^3 + 3(2^2)] - [-(-1)^3 + 3(-1)^2] = [-8 + 12] - [1 + 3] = 4 - 4 = 0

3. 最終的な答え

0

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