次の不定積分を求めなさい。ただし、$t$は$x$に無関係とします。 $\int (-4x + 5t) dx$

1. 問題の内容

次の不定積分を求めなさい。ただし、$t$は$x$に無関係とします。

$\int (-4x + 5t) dx$

2. 解き方の手順

不定積分を計算します。積分は線形性を持つので、各項を別々に積分できます。

$\int (-4x + 5t) dx = \int -4x dx + \int 5t dx$

まず、$\int -4x dx$を計算します。

$\int -4x dx = -4 \int x dx = -4 \cdot \frac{x^2}{2} + C_1 = -2x^2 + C_1$

次に、$\int 5t dx$を計算します。$t$は$x$に無関係なので定数として扱えます。

$\int 5t dx = 5t \int 1 dx = 5tx + C_2$

したがって、

$\int (-4x + 5t) dx = -2x^2 + 5tx + C$

ここで、$C = C_1 + C_2$は積分定数です。

3. 最終的な答え

$-2x^2 + 5tx + C$