## 問題の解答

## 問題の解答

画像に掲載されている4つの数学の問題を解きます。

**Q17.** $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ の値を求めます。

**Q18.** 関数 $y = \ln x$ ($x > 0$) の増減および凹凸を調べます。

**Q19.** $\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ の値を求めます。

**Q20.** $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$ の値を求めます。

## 解き方の手順

**Q17.**

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ は、ロピタルの定理を使うか、または基本的な極限として知られています。

ロピタルの定理を使う場合、分子と分母をそれぞれ微分します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = \cos 0 = 1$

**Q18.**

関数 $y = \ln x$ ($x > 0$) の増減と凹凸を調べます。

まず、導関数を求めます。

$y' = \frac{1}{x}$

$y'' = -\frac{1}{x^2}$

$x > 0$ のとき、$y' = \frac{1}{x} > 0$ なので、関数は増加します。

$x > 0$ のとき、$y'' = -\frac{1}{x^2} < 0$ なので、関数は上に凸です。

**Q19.**

$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ は、自然対数の底 $e$ の定義として知られています。

$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e \approx 2.718$

**Q20.**

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$ は、ロピタルの定理を使うか、または $e^x$ のテイラー展開を用いることで計算できます。

ロピタルの定理を使う場合、分子と分母をそれぞれ微分します。

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{1} = e^0 = 1$

## 最終的な答え

**Q17.** 1

**Q18.**

2. 増加・上に凸

**Q19.**

4. 約2.718

**Q20.**

3. 1