(1) $\int \sqrt{x} \, dx$ を計算する。 (2) $\int \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} \, dx$ を計算する。

1. 問題の内容

(1) $\int \sqrt{x} \, dx$ を計算する。

(2) $\int \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} \, dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

(1)

$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ であるから、

$\int \sqrt{x} \, dx = \int x^{\frac{1}{2}} \, dx$

積分公式 $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (ただし、$n \neq -1$、Cは積分定数)を用いると、

$\int x^{\frac{1}{2}} \, dx = \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} + C = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

(2)

$t = e^x + e^{-x}$ とおく。

すると、$\frac{dt}{dx} = e^x - e^{-x}$ であるから、$dt = (e^x - e^{-x}) \, dx$ となる。

よって、

$\int \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} \, dx = \int \frac{1}{t} \, dt$

$\int \frac{1}{t} \, dt = \log |t| + C$ (ただし、Cは積分定数)

$t = e^x + e^{-x}$ を代入すると、

$\log |e^x + e^{-x}| + C$

$e^x + e^{-x}$ は常に正であるから、絶対値を外すことができる。

$\log (e^x + e^{-x}) + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$

(2) $\log (e^x + e^{-x})$