$\alpha, \beta > 0$ に対して、広義積分 $\int_0^1 \frac{(\sin x)^\alpha}{x^\beta} dx$ の収束を判定する。 ヒントとして、$0 \le x \le 1$ において $\frac{2}{\pi}x < \sin x < x$ であることが与えられている。

## 問題１：

1. 問題の内容

$\alpha, \beta > 0$ に対して、広義積分 $\int_0^1 \frac{(\sin x)^\alpha}{x^\beta} dx$ の収束を判定する。

ヒントとして、$0 \le x \le 1$ において $\frac{2}{\pi}x < \sin x < x$ であることが与えられている。

2. 解き方の手順

積分区間 $0 \le x \le 1$ において、$\frac{2}{\pi}x < \sin x < x$ が成立するので、$(\frac{2}{\pi}x)^\alpha < (\sin x)^\alpha < x^\alpha$ が成り立つ。したがって、積分$\int_0^1 \frac{(\sin x)^\alpha}{x^\beta} dx$ は、$\int_0^1 \frac{x^\alpha}{x^\beta} dx = \int_0^1 x^{\alpha - \beta} dx$ と比較できる。

$\int_0^1 x^{\alpha - \beta} dx$ の収束を調べる。$x^{\alpha-\beta}$ の原始関数は、$\frac{x^{\alpha - \beta + 1}}{\alpha - \beta + 1}$ である。したがって、

$$\int_0^1 x^{\alpha - \beta} dx = \lim_{\epsilon \to 0} \int_\epsilon^1 x^{\alpha - \beta} dx = \lim_{\epsilon \to 0} \left[ \frac{x^{\alpha - \beta + 1}}{\alpha - \beta + 1} \right]_\epsilon^1 = \frac{1}{\alpha - \beta + 1} - \lim_{\epsilon \to 0} \frac{\epsilon^{\alpha - \beta + 1}}{\alpha - \beta + 1}$$

この極限が存在するためには、$\alpha - \beta + 1 > 0$ である必要がある。つまり、$\alpha - \beta > -1$ が必要十分条件である。

$\sin x < x$ より、$\frac{(\sin x)^\alpha}{x^\beta} < \frac{x^\alpha}{x^\beta} = x^{\alpha - \beta}$ である。よって、$\alpha - \beta > -1$ ならば、広義積分 $\int_0^1 \frac{(\sin x)^\alpha}{x^\beta} dx$ は収束する。

3. 最終的な答え

$\alpha - \beta > -1$ のとき、広義積分 $\int_0^1 \frac{(\sin x)^\alpha}{x^\beta} dx$ は収束する。

## 問題２：

1. 問題の内容

$m>0$ に対して、広義積分$\int_1^\infty \frac{(\log x)^m}{1+x^2}dx$ の収束を判定する。

ヒントとして、$1 \le x$ にたいして $(\log x)^m \le Cx^{1/2}$ となる正数 $C > 0$ が存在することが与えられている。

2. 解き方の手順

$1 \le x$ に対して $(\log x)^m \le Cx^{1/2}$ が成り立つので、

$$$$

\frac{(\log x)^m}{1+x^2} \le \frac{Cx^{1/2}}{1+x^2} \le \frac{Cx^{1/2}}{x^2} = \frac{C}{x^{3/2}}

$$$$

が成り立つ。広義積分 $\int_1^\infty \frac{1}{x^{3/2}} dx$ は収束する。なぜならば、

$$$$

\int_1^\infty \frac{1}{x^{3/2}} dx = \lim_{R \to \infty} \int_1^R x^{-3/2} dx = \lim_{R \to \infty} [-2x^{-1/2}]_1^R = \lim_{R \to \infty} (-2R^{-1/2} + 2) = 2

$$$$

だからである。よって、比較定理より、$\int_1^\infty \frac{(\log x)^m}{1+x^2}dx$ は収束する。

3. 最終的な答え

広義積分 $\int_1^\infty \frac{(\log x)^m}{1+x^2}dx$ は収束する。

## 問題３：

1. 問題の内容

$m>0$ に対して、広義積分 $\int_1^\infty x^m e^{-x} dx$ の収束を判定する。

ヒントとして、$1 \le x$ にたいして $e^x$ のマクローリン展開を用いることが与えられている。

2. 解き方の手順

$e^x$ のマクローリン展開は、

$$$$

e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots

$$$$

である。したがって、$e^x > \frac{x^{m+2}}{(m+2)!}$ が、$x>0$において成立する。

よって、$x > 1$ において

$$$$

0 < x^m e^{-x} < x^m \frac{(m+2)!}{x^{m+2}} = \frac{(m+2)!}{x^2}

$$$$

が成り立つ。広義積分 $\int_1^\infty \frac{1}{x^2} dx$ は収束する。なぜならば、

$$$$

\int_1^\infty \frac{1}{x^2} dx = \lim_{R \to \infty} \int_1^R x^{-2} dx = \lim_{R \to \infty} [-x^{-1}]_1^R = \lim_{R \to \infty} (-\frac{1}{R} + 1) = 1

$$$$

だからである。したがって、比較定理より、$\int_1^\infty x^m e^{-x} dx$ は収束する。

3. 最終的な答え

広義積分 $\int_1^\infty x^m e^{-x} dx$ は収束する。

## 問題４：

1. 問題の内容

$0 < \alpha < 1$ に対して、広義積分 $\int_0^1 \frac{\log x}{x^\alpha} dx$ の収束を判定する。

ヒントとして、$\lim_{x \to +0} x^{\frac{1-\alpha}{2}} \log x = 0$ を用いることが与えられている。

2. 解き方の手順

$\int_0^1 \frac{\log x}{x^\alpha} dx = \lim_{\epsilon \to 0} \int_\epsilon^1 x^{-\alpha} \log x dx$ を計算する。

部分積分を行う。$u = \log x$, $dv = x^{-\alpha} dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{x^{1-\alpha}}{1-\alpha}$ である。したがって、

$$$$

\int_\epsilon^1 x^{-\alpha} \log x dx = \left[ \frac{x^{1-\alpha}}{1-\alpha} \log x \right]_\epsilon^1 - \int_\epsilon^1 \frac{x^{1-\alpha}}{1-\alpha} \frac{1}{x} dx = \left[ \frac{x^{1-\alpha}}{1-\alpha} \log x \right]_\epsilon^1 - \frac{1}{1-\alpha} \int_\epsilon^1 x^{-\alpha} dx

$$$$

ここで、$\int_\epsilon^1 x^{-\alpha} dx = \left[ \frac{x^{1-\alpha}}{1-\alpha} \right]_\epsilon^1 = \frac{1}{1-\alpha} - \frac{\epsilon^{1-\alpha}}{1-\alpha}$ である。

$$$$

\int_\epsilon^1 x^{-\alpha} \log x dx = \left[ \frac{x^{1-\alpha}}{1-\alpha} \log x \right]_\epsilon^1 - \frac{1}{(1-\alpha)^2} + \frac{\epsilon^{1-\alpha}}{(1-\alpha)^2}

$$$$

$\lim_{\epsilon \to 0} \frac{\epsilon^{1-\alpha}}{1-\alpha} \log \epsilon = 0$ なので、

$$$$

\lim_{\epsilon \to 0} \int_\epsilon^1 x^{-\alpha} \log x dx = \frac{1^{1-\alpha}}{1-\alpha} \log 1 - \frac{0}{1-\alpha} - \frac{1}{(1-\alpha)^2} + \frac{0}{(1-\alpha)^2} = - \frac{1}{(1-\alpha)^2}

$$$$

したがって、広義積分は収束する。

3. 最終的な答え

広義積分 $\int_0^1 \frac{\log x}{x^\alpha} dx$ は収束し、その値は $- \frac{1}{(1-\alpha)^2}$ である。