## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

以下の3つの問題があります。

1. 関数 $y = f(x) = \frac{1}{x^2}$ のグラフの概形を描き、$x=0$ から $x=3$ までの広義積分を求めよ。

2. 広義積分 $\int_{-1}^{\infty} \frac{1}{(x+2)^2} dx$ を計算せよ。

3. 広義積分 $\int_{-1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x+1}} dx$ を計算せよ。

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2. 解き方の手順

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1. 関数 $y = \frac{1}{x^2}$ の広義積分**

まず、$x=0$ で関数が定義されないので、広義積分として計算します。

$$\int_{0}^{3} \frac{1}{x^2} dx = \lim_{\epsilon \to 0} \int_{\epsilon}^{3} \frac{1}{x^2} dx$$

積分を計算します。

$$\int_{\epsilon}^{3} \frac{1}{x^2} dx = \left[ -\frac{1}{x} \right]_{\epsilon}^{3} = -\frac{1}{3} + \frac{1}{\epsilon}$$

$\epsilon \to 0$ の極限を計算します。

$$\lim_{\epsilon \to 0} \left( -\frac{1}{3} + \frac{1}{\epsilon} \right) = \infty$$

したがって、広義積分は発散します。

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2. 広義積分 $\int_{-1}^{\infty} \frac{1}{(x+2)^2} dx$**

まず、積分を計算します。

$$\int_{-1}^{\infty} \frac{1}{(x+2)^2} dx = \lim_{b \to \infty} \int_{-1}^{b} \frac{1}{(x+2)^2} dx$$

置換積分を行います。$u = x+2$ とすると、$du = dx$。積分範囲は、$x=-1$ のとき $u=1$, $x=b$ のとき $u=b+2$ となります。

$$\int_{1}^{b+2} \frac{1}{u^2} du = \left[ -\frac{1}{u} \right]_{1}^{b+2} = -\frac{1}{b+2} + 1$$

$b \to \infty$ の極限を計算します。

$$\lim_{b \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{b+2} \right) = 1$$

したがって、広義積分は収束し、値は1です。

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3. 広義積分 $\int_{-1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x+1}} dx$**

$x=-1$ で被積分関数が定義されないので、広義積分として計算します。

$$\int_{-1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x+1}} dx = \lim_{\epsilon \to 0} \int_{-1+\epsilon}^{0} \frac{1}{\sqrt{x+1}} dx + \lim_{b \to \infty}\int_{0}^{b} \frac{1}{\sqrt{x+1}} dx$$

置換積分を行います。$u = x+1$ とすると、$du = dx$。

$$\int \frac{1}{\sqrt{u}} du = \int u^{-1/2} du = 2u^{1/2} + C = 2\sqrt{x+1} + C$$

積分区間を考慮して、積分を計算します。

$$\lim_{\epsilon \to 0} \int_{-1+\epsilon}^{0} \frac{1}{\sqrt{x+1}} dx + \lim_{b \to \infty}\int_{0}^{b} \frac{1}{\sqrt{x+1}} dx = \lim_{\epsilon \to 0} [2\sqrt{x+1}]_{-1+\epsilon}^{0} + \lim_{b \to \infty}[2\sqrt{x+1}]_{0}^{b}$$

$$= \lim_{\epsilon \to 0}(2 - 2\sqrt{\epsilon}) + \lim_{b \to \infty}(2\sqrt{b+1} - 2) = 2 + \lim_{b \to \infty}(2\sqrt{b+1} - 2) = \infty$$

したがって、広義積分は発散します。

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3. 最終的な答え

1. 関数 $y = \frac{1}{x^2}$ の $x=0$ から $x=3$ までの広義積分は発散する。

2. 広義積分 $\int_{-1}^{\infty} \frac{1}{(x+2)^2} dx$ の値は 1 。

3. 広義積分 $\int_{-1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x+1}} dx$ は発散する。