与えられた2つの関数について、増減を調べ、極値を持たないことを確認する。 (1) $f(x) = -x^3$ (2) $f(x) = x^3 + 2x$

1. 問題の内容

与えられた2つの関数について、増減を調べ、極値を持たないことを確認する。

(1) $f(x) = -x^3$

(2) $f(x) = x^3 + 2x$

2. 解き方の手順

関数の増減を調べるには、まず導関数を求め、その符号を調べます。導関数の符号が変わる点が極値を持つ候補となります。

(1) $f(x) = -x^3$ の場合

* 導関数を求める。

$f'(x) = -3x^2$

* $f'(x)$ の符号を調べる。

$f'(x) = -3x^2 \leq 0$ であり、$f'(x) = 0$ となるのは $x = 0$ のみ。

したがって、$x < 0$ でも $x > 0$ でも $f'(x) < 0$ であるから、$f(x)$ は常に減少する。

* 極値の有無を調べる。

$f'(x)$ の符号が変化しないため、極値を持たない。

(2) $f(x) = x^3 + 2x$ の場合

* 導関数を求める。

$f'(x) = 3x^2 + 2$

* $f'(x)$ の符号を調べる。

$3x^2 \geq 0$ より、$f'(x) = 3x^2 + 2 \geq 2 > 0$ である。

したがって、$f(x)$ は常に増加する。

* 極値の有無を調べる。

$f'(x)$ の符号が変化しないため、極値を持たない。

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = -x^3$ は常に減少する。極値を持たない。

(2) $f(x) = x^3 + 2x$ は常に増加する。極値を持たない。