Q22: 関数 $h(x)$ が $x=2$ で連続となるような定数 $a$ の値を求める。 $h(x) = \begin{cases} x^2 - ax & (x < 2) \\ ax+1 & (x \ge 2) \end{cases}$ Q23: 曲線 $y = \ln x$ における点 $(1,0)$ での接線の方程式を求める。

1. 問題の内容

Q22: 関数 $h(x)$ が $x=2$ で連続となるような定数 $a$ の値を求める。

$h(x) = \begin{cases} x^2 - ax & (x < 2) \\ ax+1 & (x \ge 2) \end{cases}$

Q23: 曲線 $y = \ln x$ における点 $(1,0)$ での接線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

Q22: 関数 $h(x)$ が $x=2$ で連続であるためには、$\lim_{x \to 2^-} h(x) = \lim_{x \to 2^+} h(x) = h(2)$ が成立する必要がある。

$\lim_{x \to 2^-} h(x) = \lim_{x \to 2^-} (x^2 - ax) = 2^2 - a(2) = 4 - 2a$

$\lim_{x \to 2^+} h(x) = \lim_{x \to 2^+} (ax + 1) = a(2) + 1 = 2a + 1$

連続であるためには、$4 - 2a = 2a + 1$ である必要があるので、

$4 - 2a = 2a + 1$ を解く。

$4 - 1 = 2a + 2a$

$3 = 4a$

$a = \frac{3}{4}$

Q23: $y = \ln x$ の導関数を求める。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}$

点 $(1,0)$ における接線の傾きは $x=1$ のときの導関数の値であるから、

$\frac{dy}{dx}|_{x=1} = \frac{1}{1} = 1$

したがって、接線の傾きは $1$ である。

点 $(1,0)$ を通り、傾きが $1$ の直線の方程式は、

$y - 0 = 1(x - 1)$

$y = x - 1$

3. 最終的な答え

Q22: $a = \frac{3}{4}$

Q23: $y = x - 1$