この問題は、不定積分と定積分を計算する問題です。具体的には、以下の積分を計算します。 (1) $\int (3x+1)^2 dx$ (2) $\int \frac{dx}{(2x+3)^3}$ (3) $\int x\sqrt{x-1} dx$ (ただし、$\int ((x-1)\sqrt{x-1} + \sqrt{x-1})dx$ と同じ) (4) $\int_2^3 \frac{dx}{x^2-2x+1}$ (5) $\int_1^3 (2x-3)^4 dx$

1. 問題の内容

この問題は、不定積分と定積分を計算する問題です。具体的には、以下の積分を計算します。

(1) $\int (3x+1)^2 dx$

(2) $\int \frac{dx}{(2x+3)^3}$

(3) $\int x\sqrt{x-1} dx$ (ただし、$\int ((x-1)\sqrt{x-1} + \sqrt{x-1})dx$ と同じ)

(4) $\int_2^3 \frac{dx}{x^2-2x+1}$

(5) $\int_1^3 (2x-3)^4 dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int (3x+1)^2 dx$

$(3x+1)^2$ を展開します。

$(3x+1)^2 = 9x^2 + 6x + 1$

したがって、積分は

$\int (9x^2 + 6x + 1) dx = 9\int x^2 dx + 6\int x dx + \int 1 dx = 9\frac{x^3}{3} + 6\frac{x^2}{2} + x + C = 3x^3 + 3x^2 + x + C$

(2) $\int \frac{dx}{(2x+3)^3}$

$u = 2x+3$ と置換すると、$du = 2dx$ より $dx = \frac{1}{2}du$ となります。

したがって、積分は

$\int \frac{1}{u^3} \frac{1}{2}du = \frac{1}{2} \int u^{-3} du = \frac{1}{2} \frac{u^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{4u^2} + C = -\frac{1}{4(2x+3)^2} + C$

(3) $\int x\sqrt{x-1} dx = \int ((x-1)\sqrt{x-1} + \sqrt{x-1})dx$

$u = x-1$ と置換すると、$x = u+1$、$dx = du$

$\int (u\sqrt{u} + \sqrt{u}) du = \int (u^{3/2} + u^{1/2}) du = \frac{u^{5/2}}{5/2} + \frac{u^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{5}u^{5/2} + \frac{2}{3}u^{3/2} + C = \frac{2}{5}(x-1)^{5/2} + \frac{2}{3}(x-1)^{3/2} + C$

(4) $\int_2^3 \frac{dx}{x^2-2x+1}$

$x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$ より、積分は

$\int_2^3 \frac{dx}{(x-1)^2} = \int_2^3 (x-1)^{-2} dx = \left[ \frac{(x-1)^{-1}}{-1} \right]_2^3 = \left[ -\frac{1}{x-1} \right]_2^3 = -\frac{1}{3-1} - \left(-\frac{1}{2-1}\right) = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$

(5) $\int_1^3 (2x-3)^4 dx$

$u = 2x-3$ と置換すると、$du = 2dx$ より $dx = \frac{1}{2}du$ となります。また、$x=1$ のとき $u=2(1)-3=-1$、$x=3$ のとき $u=2(3)-3=3$。

$\int_{-1}^3 u^4 \frac{1}{2}du = \frac{1}{2} \int_{-1}^3 u^4 du = \frac{1}{2} \left[ \frac{u^5}{5} \right]_{-1}^3 = \frac{1}{2} \left( \frac{3^5}{5} - \frac{(-1)^5}{5} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{243}{5} + \frac{1}{5} \right) = \frac{1}{2} \frac{244}{5} = \frac{122}{5}$

3. 最終的な答え

(1) $3x^3 + 3x^2 + x + C$

(2) $-\frac{1}{4(2x+3)^2} + C$

(3) $\frac{2}{5}(x-1)^{5/2} + \frac{2}{3}(x-1)^{3/2} + C$

(4) $\frac{1}{2}$

(5) $\frac{122}{5}$