$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で、以下の三角方程式および不等式を解く。 (1) $\sin \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$ (2) $\cos \theta = \frac{1}{2}$ (3) $\sin \theta \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$ (4) $\cos \theta < -\frac{1}{\sqrt{2}}$

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で、以下の三角方程式および不等式を解く。

(1) $\sin \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$

(2) $\cos \theta = \frac{1}{2}$

(3) $\sin \theta \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$

(4) $\cos \theta < -\frac{1}{\sqrt{2}}$

2. 解き方の手順

(1) $\sin \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$

単位円で考えると、$\sin \theta$ は $y$ 座標を表す。$y = \frac{\sqrt{2}}{2}$ となる $\theta$ は、第1象限と第2象限にある。

$\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$

(2) $\cos \theta = \frac{1}{2}$

単位円で考えると、$\cos \theta$ は $x$ 座標を表す。$x = \frac{1}{2}$ となる $\theta$ は、第1象限と第4象限にある。

$\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

(3) $\sin \theta \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$ となる $\theta$ は $\frac{\pi}{4}$ と $\frac{3\pi}{4}$ である。$\sin \theta$ が $\frac{\sqrt{2}}{2}$ より大きくなる範囲は、$\frac{\pi}{4} \le \theta \le \frac{3\pi}{4}$

(4) $\cos \theta < -\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ となる $\theta$ は $\frac{3\pi}{4}$ と $\frac{5\pi}{4}$ である。$\cos \theta$ が $-\frac{1}{\sqrt{2}}$ より小さくなる範囲は、$\frac{3\pi}{4} < \theta < \frac{5\pi}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$

(2) $\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

(3) $\frac{\pi}{4} \le \theta \le \frac{3\pi}{4}$

(4) $\frac{3\pi}{4} < \theta < \frac{5\pi}{4}$