三角形ABCにおいて、$AB = 9$, $BC = 7$, $CA = 6$とする。角Aの二等分線と辺BCとの交点をPとする。角Aの外角の二等分線と直線BCとの交点をQとするとき、線分PQの長さを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB = 9$, $BC = 7$, $CA = 6$とする。角Aの二等分線と辺BCとの交点をPとする。角Aの外角の二等分線と直線BCとの交点をQとするとき、線分PQの長さを求める。

2. 解き方の手順

まず、角Aの二等分線が辺BCを分ける比を求める。角の二等分線の定理より、

$\frac{BP}{PC} = \frac{AB}{AC} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$

$BC = 7$なので、$BP + PC = 7$。$BP = \frac{3}{2} PC$を代入すると、

$\frac{3}{2}PC + PC = 7$

$\frac{5}{2}PC = 7$

$PC = \frac{14}{5}$

したがって、$BP = 7 - \frac{14}{5} = \frac{35-14}{5} = \frac{21}{5}$。

次に、角Aの外角の二等分線が直線BCを分ける比を求める。角の二等分線の定理より、

$\frac{BQ}{CQ} = \frac{AB}{AC} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$

$BQ = BC + CQ = 7 + CQ$なので、

$\frac{7+CQ}{CQ} = \frac{3}{2}$

$2(7+CQ) = 3CQ$

$14 + 2CQ = 3CQ$

$CQ = 14$

したがって、$BQ = 7 + 14 = 21$。

最後に、$PQ$の長さを求める。$PQ = BQ - BP$なので、

$PQ = 21 - \frac{21}{5} = \frac{105 - 21}{5} = \frac{84}{5}$。

3. 最終的な答え

$\frac{84}{5}$