関数 $y = 2x^2 - 7x - 5$ のグラフ上の点 $(3, -8)$ における接線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = 2x^2 - 7x - 5$ のグラフ上の点 $(3, -8)$ における接線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

接線の方程式は、$y - y_1 = m(x - x_1)$ で表されます。ここで、$(x_1, y_1)$ は接点の座標であり、$m$ は接線の傾きです。

この問題では、接点の座標は $(3, -8)$ なので、$x_1 = 3$、$y_1 = -8$ です。

次に、接線の傾き $m$ を求めます。$m$ は関数 $y$ の $x=3$ における微分係数に等しいので、$y$ を $x$ で微分します。

$y = 2x^2 - 7x - 5$ を $x$ で微分すると、

$\frac{dy}{dx} = 4x - 7$

次に、$x = 3$ を代入して、$x=3$ における微分係数、つまり接線の傾き $m$ を求めます。

$m = 4(3) - 7 = 12 - 7 = 5$

よって、接線の傾きは $m = 5$ です。

接線の方程式 $y - y_1 = m(x - x_1)$ に、$x_1 = 3$、$y_1 = -8$、$m = 5$ を代入すると、

$y - (-8) = 5(x - 3)$

$y + 8 = 5x - 15$

$y = 5x - 15 - 8$

$y = 5x - 23$

3. 最終的な答え

$y = 5x - 23$