曲面 $z = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}$ 上の点 $(x_0, y_0, z_0)$ における接平面の方程式を求める。

はい、承知いたしました。以下に問題の解答を示します。

**問題1 (1)**

1. 問題の内容

曲面 $z = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}$ 上の点 $(x_0, y_0, z_0)$ における接平面の方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、$f(x,y) = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}$ とおく。

偏微分を計算する。

$f_x(x,y) = \frac{2x}{a^2}$

$f_y(x,y) = \frac{2y}{b^2}$

点 $(x_0, y_0)$ における偏微分は、

$f_x(x_0, y_0) = \frac{2x_0}{a^2}$

$f_y(x_0, y_0) = \frac{2y_0}{b^2}$

接平面の方程式は、

$z = f(x_0, y_0) + f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0)$

$z = \frac{x_0^2}{a^2} + \frac{y_0^2}{b^2} + \frac{2x_0}{a^2}(x - x_0) + \frac{2y_0}{b^2}(y - y_0)$

$z = \frac{x_0^2}{a^2} + \frac{y_0^2}{b^2} + \frac{2x_0 x}{a^2} - \frac{2x_0^2}{a^2} + \frac{2y_0 y}{b^2} - \frac{2y_0^2}{b^2}$

$z = \frac{2x_0 x}{a^2} + \frac{2y_0 y}{b^2} - \frac{x_0^2}{a^2} - \frac{y_0^2}{b^2}$

ここで、$z_0 = \frac{x_0^2}{a^2} + \frac{y_0^2}{b^2}$ であるから、

$z = \frac{2x_0 x}{a^2} + \frac{2y_0 y}{b^2} - z_0$

$\frac{2x_0 x}{a^2} + \frac{2y_0 y}{b^2} - z = z_0$

$\frac{2x_0 x}{a^2} + \frac{2y_0 y}{b^2} - z - z_0 = 0$

$\frac{2x_0 x}{a^2} + \frac{2y_0 y}{b^2} = z+z_0$

3. 最終的な答え

$\frac{2x_0 x}{a^2} + \frac{2y_0 y}{b^2} -z = z_0$

**問題1 (2)**

1. 問題の内容

曲面 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ 上の点 $(x_0, y_0, z_0)$ ($z_0 \neq 0$) における接平面の方程式を求める。

2. 解き方の手順

$F(x,y,z) = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} - 1 = 0$ とおく。

偏微分を計算する。

$F_x(x,y,z) = \frac{2x}{a^2}$

$F_y(x,y,z) = \frac{2y}{b^2}$

$F_z(x,y,z) = \frac{2z}{c^2}$

点 $(x_0, y_0, z_0)$ における偏微分は、

$F_x(x_0, y_0, z_0) = \frac{2x_0}{a^2}$

$F_y(x_0, y_0, z_0) = \frac{2y_0}{b^2}$

$F_z(x_0, y_0, z_0) = \frac{2z_0}{c^2}$

接平面の方程式は、

$F_x(x_0, y_0, z_0)(x - x_0) + F_y(x_0, y_0, z_0)(y - y_0) + F_z(x_0, y_0, z_0)(z - z_0) = 0$

$\frac{2x_0}{a^2}(x - x_0) + \frac{2y_0}{b^2}(y - y_0) + \frac{2z_0}{c^2}(z - z_0) = 0$

$\frac{2x_0 x}{a^2} - \frac{2x_0^2}{a^2} + \frac{2y_0 y}{b^2} - \frac{2y_0^2}{b^2} + \frac{2z_0 z}{c^2} - \frac{2z_0^2}{c^2} = 0$

$\frac{x_0 x}{a^2} - \frac{x_0^2}{a^2} + \frac{y_0 y}{b^2} - \frac{y_0^2}{b^2} + \frac{z_0 z}{c^2} - \frac{z_0^2}{c^2} = 0$

$\frac{x_0 x}{a^2} + \frac{y_0 y}{b^2} + \frac{z_0 z}{c^2} = \frac{x_0^2}{a^2} + \frac{y_0^2}{b^2} + \frac{z_0^2}{c^2}$

点 $(x_0, y_0, z_0)$ は曲面上にあるので、$\frac{x_0^2}{a^2} + \frac{y_0^2}{b^2} + \frac{z_0^2}{c^2} = 1$

$\frac{x_0 x}{a^2} + \frac{y_0 y}{b^2} + \frac{z_0 z}{c^2} = 1$

3. 最終的な答え

$\frac{x_0 x}{a^2} + \frac{y_0 y}{b^2} + \frac{z_0 z}{c^2} = 1$

**問題2 (1)**

1. 問題の内容

関数 $z = \frac{y}{x}$ の全微分を求める。

2. 解き方の手順

$z = f(x,y) = \frac{y}{x}$ とおく。

偏微分を計算する。

$\frac{\partial z}{\partial x} = f_x(x,y) = -\frac{y}{x^2}$

$\frac{\partial z}{\partial y} = f_y(x,y) = \frac{1}{x}$

全微分は、

$dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy$

$dz = -\frac{y}{x^2} dx + \frac{1}{x} dy$

3. 最終的な答え

$dz = -\frac{y}{x^2} dx + \frac{1}{x} dy$

**問題2 (2)**

1. 問題の内容

関数 $z = x^y$ ($x > 0$) の全微分を求める。

2. 解き方の手順

偏微分を計算する。

$\frac{\partial z}{\partial x} = yx^{y-1}$

$\frac{\partial z}{\partial y} = x^y \ln x$

全微分は、

$dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy$

$dz = yx^{y-1} dx + x^y \ln x dy$

3. 最終的な答え

$dz = yx^{y-1} dx + x^y \ln x dy$

**問題2 (3)**

1. 問題の内容

関数 $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ の全微分を求める。

2. 解き方の手順

偏微分を計算する。

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}$

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}$

全微分は、

$dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy$

$dz = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} dx + \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} dy$

3. 最終的な答え

$dz = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} dx + \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} dy$