(1) $\lim_{n \to \infty} \frac{\pi}{n} \sum_{k=1}^{n} \cos^2 \frac{k\pi}{6n}$ (2) $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{2k}{n^2 + k^2}$

1. 問題の内容

(1) $\lim_{n \to \infty} \frac{\pi}{n} \sum_{k=1}^{n} \cos^2 \frac{k\pi}{6n}$

(2) $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{2k}{n^2 + k^2}$

2. 解き方の手順

(1)

与えられた極限はリーマン和の形をしているので、定積分に変換して計算する。

$x = \frac{k}{n}$ とおくと、$dx = \frac{1}{n}$ となる。

したがって、

$\lim_{n \to \infty} \frac{\pi}{n} \sum_{k=1}^{n} \cos^2 \frac{k\pi}{6n} = \pi \int_{0}^{1} \cos^2 \frac{\pi x}{6} dx$

$\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ を用いると、

$\pi \int_{0}^{1} \cos^2 \frac{\pi x}{6} dx = \pi \int_{0}^{1} \frac{1 + \cos \frac{\pi x}{3}}{2} dx$

$= \frac{\pi}{2} \int_{0}^{1} (1 + \cos \frac{\pi x}{3}) dx$

$= \frac{\pi}{2} \left[ x + \frac{3}{\pi} \sin \frac{\pi x}{3} \right]_{0}^{1}$

$= \frac{\pi}{2} \left[ 1 + \frac{3}{\pi} \sin \frac{\pi}{3} - 0 - \frac{3}{\pi} \sin 0 \right]$

$= \frac{\pi}{2} \left[ 1 + \frac{3}{\pi} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \right]$

$= \frac{\pi}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{4}$

(2)

$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{2k}{n^2 + k^2} = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{2 \frac{k}{n}}{n(1 + (\frac{k}{n})^2)} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{2 \frac{k}{n}}{1 + (\frac{k}{n})^2}$

$x = \frac{k}{n}$ とおくと、$dx = \frac{1}{n}$ となる。

したがって、

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{2 \frac{k}{n}}{1 + (\frac{k}{n})^2} = \int_{0}^{1} \frac{2x}{1 + x^2} dx$

$t = 1 + x^2$ とおくと、$dt = 2x dx$ となる。

$\int_{0}^{1} \frac{2x}{1 + x^2} dx = \int_{1}^{2} \frac{1}{t} dt$

$= [\ln t]_{1}^{2} = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2 - 0 = \ln 2$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\pi}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{4}$

(2) $\ln 2$