与えられた問題は、関数の連続性の定義を書くことです。具体的には、関数 $y = f(x)$ が点 $x = a$ で連続であることの定義と、関数 $y = f(x)$ が区間 $I$ で連続であることの定義を求められています。

1. 問題の内容

与えられた問題は、関数の連続性の定義を書くことです。具体的には、関数 $y = f(x)$ が点 $x = a$ で連続であることの定義と、関数 $y = f(x)$ が区間 $I$ で連続であることの定義を求められています。

2. 解き方の手順

(1) 関数 $y = f(x)$ が $x = a$ で連続であるための定義：

関数 $f(x)$ が $x = a$ で連続であるとは、次の3つの条件がすべて満たされることをいいます。

(i) $f(a)$ が定義されている。

(ii) 極限 $\lim_{x \to a} f(x)$ が存在する。

(iii) $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ が成り立つ。

(2) 関数 $y = f(x)$ が区間 $I$ で連続であるための定義：

関数 $f(x)$ が区間 $I$ で連続であるとは、$I$ に含まれるすべての点 $x$ において $f(x)$ が連続であることをいいます。

$I$ が閉区間 $[a, b]$ の場合は、$f(x)$ が開区間 $(a, b)$ で連続であり、かつ右側極限 $\lim_{x \to a+0} f(x) = f(a)$ と左側極限 $\lim_{x \to b-0} f(x) = f(b)$ が成り立つことを意味します。

3. 最終的な答え

(1) 関数 $y = f(x)$ が $x = a$ で連続であるとは、次の3つの条件がすべて満たされることをいいます。

(i) $f(a)$ が定義されている。

(ii) 極限 $\lim_{x \to a} f(x)$ が存在する。

(iii) $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ が成り立つ。

(2) 関数 $y = f(x)$ が区間 $I$ で連続であるとは、$I$ に含まれるすべての点 $x$ において $f(x)$ が連続であることをいいます。

$I$ が閉区間 $[a, b]$ の場合は、$f(x)$ が開区間 $(a, b)$ で連続であり、かつ右側極限 $\lim_{x \to a+0} f(x) = f(a)$ と左側極限 $\lim_{x \to b-0} f(x) = f(b)$ が成り立つことを意味します。