与えられた関数 $y = (x+1) \log_e(x(x+1))$ の微分を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = (x+1) \log_e(x(x+1))$ の微分を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を $y = (x+1) \ln(x(x+1))$ と書き換えます（$\log_e x = \ln x$）。

次に、積の微分法則 $(uv)' = u'v + uv'$ を用いて微分を行います。ここで、$u = x+1$、$v = \ln(x(x+1))$ とおきます。

$u' = \frac{d}{dx}(x+1) = 1$

$v' = \frac{d}{dx}\ln(x(x+1)) = \frac{d}{dx}\ln(x^2+x)$

連鎖律を用いると、$v' = \frac{1}{x^2+x} \cdot \frac{d}{dx}(x^2+x) = \frac{1}{x^2+x} \cdot (2x+1) = \frac{2x+1}{x(x+1)}$

したがって、$y' = u'v + uv' = 1 \cdot \ln(x(x+1)) + (x+1) \cdot \frac{2x+1}{x(x+1)}$

$y' = \ln(x(x+1)) + \frac{2x+1}{x}$

$y' = \ln(x(x+1)) + \frac{2x}{x} + \frac{1}{x} = \ln(x(x+1)) + 2 + \frac{1}{x}$

3. 最終的な答え

$y' = \ln(x(x+1)) + 2 + \frac{1}{x}$

または

$y' = \ln(x^2+x) + 2 + \frac{1}{x}$