与えられた関数が $x=0$ で連続かどうかを判断します。関数は以下の5つです。 (1) $f(x) = x$ (2) $f(x) = \frac{x^2 + 3x}{x - 2}$ (3) $f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 + 2x}{x} & (x \neq 0) \\ 2 & (x = 0) \end{cases}$ (4) $f(x) = \begin{cases} \frac{\sin x}{x} & (x \neq 0) \\ 1 & (x = 0) \end{cases}$ (5) $f(x) = \begin{cases} \frac{|x|}{x} & (x \neq 0) \\ 1 & (x = 0) \end{cases}$

## 問62 の解答

1. 問題の内容

与えられた関数が $x=0$ で連続かどうかを判断します。関数は以下の5つです。

(1) $f(x) = x$

(2) $f(x) = \frac{x^2 + 3x}{x - 2}$

(3) $f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 + 2x}{x} & (x \neq 0) \\ 2 & (x = 0) \end{cases}$

(4) $f(x) = \begin{cases} \frac{\sin x}{x} & (x \neq 0) \\ 1 & (x = 0) \end{cases}$

(5) $f(x) = \begin{cases} \frac{|x|}{x} & (x \neq 0) \\ 1 & (x = 0) \end{cases}$

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ が $x=0$ で連続であるためには、以下の3つの条件を満たす必要があります。

1. $f(0)$ が定義されている。

2. $\lim_{x \to 0} f(x)$ が存在する。

3. $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$

各関数について、上記の条件を調べます。

(1) $f(x) = x$

$f(0) = 0$

$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} x = 0$

$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$

したがって、連続です。

(2) $f(x) = \frac{x^2 + 3x}{x - 2}$

$f(0) = \frac{0^2 + 3(0)}{0 - 2} = 0$

$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 + 3x}{x - 2} = \frac{0}{-2} = 0$

$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$

したがって、連続です。

(3) $f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 + 2x}{x} & (x \neq 0) \\ 2 & (x = 0) \end{cases}$

$f(0) = 2$

$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 + 2x}{x} = \lim_{x \to 0} (x + 2) = 2$

$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$

したがって、連続です。

(4) $f(x) = \begin{cases} \frac{\sin x}{x} & (x \neq 0) \\ 1 & (x = 0) \end{cases}$

$f(0) = 1$

$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$

したがって、連続です。

(5) $f(x) = \begin{cases} \frac{|x|}{x} & (x \neq 0) \\ 1 & (x = 0) \end{cases}$

$f(0) = 1$

$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{x} = 1$

$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{-x}{x} = -1$

$\lim_{x \to 0^+} f(x) \neq \lim_{x \to 0^-} f(x)$ より、$\lim_{x \to 0} f(x)$ は存在しません。

したがって、不連続です。

3. 最終的な答え

(1) 連続

(2) 連続

(3) 連続

(4) 連続

(5) 不連続