$\sin 255^\circ$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\sin 255^\circ$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$255^\circ$ は、$180^\circ + 75^\circ$ または $270^\circ - 15^\circ$ と表すことができます。ここでは、$255^\circ = 180^\circ + 75^\circ$ を利用します。

$\sin(180^\circ + \theta) = -\sin \theta$ なので、

$\sin 255^\circ = \sin (180^\circ + 75^\circ) = -\sin 75^\circ$

次に、$\sin 75^\circ$ を求めます。$75^\circ = 45^\circ + 30^\circ$ なので、$\sin$ の加法定理を利用します。

$\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$

$\sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ$

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ を代入すると、

$\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

よって、

$\sin 255^\circ = -\sin 75^\circ = -\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

3. 最終的な答え

$-\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$