関数 $f(x,y) = \lim_{p \to \infty} (|3x|^p + |2y|^p)^{\frac{1}{p}}$ が与えられたとき、偏微分係数 $f_x(1,1)$ と $f_y(1,1)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x,y) = \lim_{p \to \infty} (|3x|^p + |2y|^p)^{\frac{1}{p}}$ が与えられたとき、偏微分係数 $f_x(1,1)$ と $f_y(1,1)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x, y)$ を簡単にします。$p \to \infty$ のとき、絶対値が大きい方が支配的になるので、

$f(x, y) = \max\{|3x|, |2y|\}$

となります。

次に、$f_x(x, y)$ と $f_y(x, y)$ を求めます。

$f_x(x,y) = \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)$

$f_y(x,y) = \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)$

具体的には、$|3x| > |2y|$ のとき $f(x, y) = |3x|$ なので $f_x(x, y) = 3 \cdot \text{sgn}(x)$、ここで$\text{sgn}(x)$ は符号関数で、 $x>0$ なら 1, $x<0$なら -1, $x=0$ なら 0 です。 $f_y(x, y) = 0$。

同様に、$|3x| < |2y|$ のとき $f(x, y) = |2y|$ なので $f_x(x, y) = 0$、$f_y(x, y) = 2 \cdot \text{sgn}(y)$。

$|3x| = |2y|$ のときは微分できません。

最後に、$f_x(1, 1)$ と $f_y(1, 1)$ を計算します。

$x = 1, y = 1$ のとき、$|3x| = 3$ であり、 $|2y| = 2$ です。したがって、$|3x| > |2y|$ となります。

よって、$f(x, y) = |3x|$ となるので、$f_x(x, y) = 3\cdot \text{sgn}(x)$ であり、$f_y(x, y) = 0$ です。

$f_x(1, 1) = 3 \cdot \text{sgn}(1) = 3 \cdot 1 = 3$

$f_y(1, 1) = 0$

3. 最終的な答え

$f_x(1,1) = 3$

$f_y(1,1) = 0$