与えられた4つの関数について、$n=1$ のマクローリン展開を求める問題です。つまり、各関数 $f(x,y)$ を原点$(0,0)$ の周りで1次までの項で展開します。

1. 問題の内容

与えられた4つの関数について、$n=1$ のマクローリン展開を求める問題です。つまり、各関数 $f(x,y)$ を原点$(0,0)$ の周りで1次までの項で展開します。

2. 解き方の手順

マクローリン展開は、多変数関数のテイラー展開を原点周りで計算したものです。ここでは、$n=1$なので、関数 $f(x,y)$ のマクローリン展開は以下のようになります。

$f(x,y) \approx f(0,0) + \frac{\partial f}{\partial x}(0,0)x + \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)y$

各関数について、偏微分を計算し、原点での値を求め、上記の式に代入します。

(1) $f(x,y) = e^x \sin y$

$f(0,0) = e^0 \sin 0 = 1 \cdot 0 = 0$

$\frac{\partial f}{\partial x} = e^x \sin y$

$\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) = e^0 \sin 0 = 0$

$\frac{\partial f}{\partial y} = e^x \cos y$

$\frac{\partial f}{\partial y}(0,0) = e^0 \cos 0 = 1$

よって、$f(x,y) \approx 0 + 0 \cdot x + 1 \cdot y = y$

(2) $f(x,y) = \tan^{-1}(x+y)$

$f(0,0) = \tan^{-1}(0+0) = 0$

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{1 + (x+y)^2}$

$\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) = \frac{1}{1 + (0+0)^2} = 1$

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{1 + (x+y)^2}$

$\frac{\partial f}{\partial y}(0,0) = \frac{1}{1 + (0+0)^2} = 1$

よって、$f(x,y) \approx 0 + 1 \cdot x + 1 \cdot y = x+y$

(3) $f(x,y) = \sin(x-y)$

$f(0,0) = \sin(0-0) = 0$

$\frac{\partial f}{\partial x} = \cos(x-y)$

$\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) = \cos(0-0) = 1$

$\frac{\partial f}{\partial y} = -\cos(x-y)$

$\frac{\partial f}{\partial y}(0,0) = -\cos(0-0) = -1$

よって、$f(x,y) \approx 0 + 1 \cdot x + (-1) \cdot y = x-y$

(4) $f(x,y) = \log(xy+1)$

$f(0,0) = \log(0 \cdot 0 + 1) = \log(1) = 0$

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{y}{xy+1}$

$\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) = \frac{0}{0 \cdot 0 + 1} = 0$

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x}{xy+1}$

$\frac{\partial f}{\partial y}(0,0) = \frac{0}{0 \cdot 0 + 1} = 0$

よって、$f(x,y) \approx 0 + 0 \cdot x + 0 \cdot y = 0$

3. 最終的な答え

(1) $f(x,y) \approx y$

(2) $f(x,y) \approx x+y$

(3) $f(x,y) \approx x-y$

(4) $f(x,y) \approx 0$