関数 $f(x)$ が、$f(x) = 3x^2 + \int_{0}^{2} f(t) dt$ を満たすとき、$f(x)$ を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が、$f(x) = 3x^2 + \int_{0}^{2} f(t) dt$ を満たすとき、$f(x)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、定積分 $\int_{0}^{2} f(t) dt$ は定数であることに注意する。

この定数を $A$ と置く。つまり、

$A = \int_{0}^{2} f(t) dt$

このとき、$f(x)$ は次のようになる。

$f(x) = 3x^2 + A$

この式を、$A = \int_{0}^{2} f(t) dt$ に代入する。

$A = \int_{0}^{2} (3t^2 + A) dt$

$A = \int_{0}^{2} 3t^2 dt + \int_{0}^{2} A dt$

$A = [t^3]_{0}^{2} + [At]_{0}^{2}$

$A = (2^3 - 0^3) + (2A - 0A)$

$A = 8 + 2A$

$A - 2A = 8$

$-A = 8$

$A = -8$

したがって、$f(x) = 3x^2 + A = 3x^2 - 8$ となる。

3. 最終的な答え

$f(x) = 3x^2 - 8$