$i$ を虚数単位、$a, b$ を実数とするとき、4次方程式 $2x^4 - 3x^3 + 3x^2 + ax + b = 0$ の解の一つが $1 + \sqrt{3}i$ である。このとき、この4次方程式の実数解の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

$i$ を虚数単位、$a, b$ を実数とするとき、4次方程式 $2x^4 - 3x^3 + 3x^2 + ax + b = 0$ の解の一つが $1 + \sqrt{3}i$ である。このとき、この4次方程式の実数解の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

複素数 $1 + \sqrt{3}i$ が4次方程式 $2x^4 - 3x^3 + 3x^2 + ax + b = 0$ の解であることから、係数が実数であるため、共役複素数 $1 - \sqrt{3}i$ も解である。

よって、$x^2 - 2x + 4 = (x - (1+\sqrt{3}i))(x-(1-\sqrt{3}i))$ は与えられた4次式の因数である。

4次式 $2x^4 - 3x^3 + 3x^2 + ax + b$ を $x^2 - 2x + 4$ で割る。

$2x^4 - 3x^3 + 3x^2 + ax + b = (x^2 - 2x + 4)(2x^2 + x - 1) + (a - 8 + 2)x + b + 4$

$= (x^2 - 2x + 4)(2x^2 + x - 1) + (a - 6)x + b + 4$

割り切れるはずなので、$a - 6 = 0$ かつ $b + 4 = 0$ が成り立つ。

したがって、$a = 6, b = -4$ である。

$2x^4 - 3x^3 + 3x^2 + 6x - 4 = (x^2 - 2x + 4)(2x^2 + x - 1) = 0$

$2x^2 + x - 1 = (2x - 1)(x + 1) = 0$

したがって、実数解は $x = \frac{1}{2}, -1$ である。

実数解の最小値は $-1$ である。

3. 最終的な答え

-1