次の不定積分を求めよ： $\int (-10x^4 - 12x^3 + 8x^2 + 7x - 1) dx$

1. 問題の内容

次の不定積分を求めよ：

$\int (-10x^4 - 12x^3 + 8x^2 + 7x - 1) dx$

2. 解き方の手順

不定積分の性質を利用して、各項ごとに積分を行います。

$\int (-10x^4 - 12x^3 + 8x^2 + 7x - 1) dx = -10\int x^4 dx - 12\int x^3 dx + 8\int x^2 dx + 7\int x dx - \int 1 dx$

各項の積分は以下のようになります。

$\int x^4 dx = \frac{x^5}{5} + C_1$

$\int x^3 dx = \frac{x^4}{4} + C_2$

$\int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C_3$

$\int x dx = \frac{x^2}{2} + C_4$

$\int 1 dx = x + C_5$

これらを元の式に代入します。

$-10 (\frac{x^5}{5}) - 12 (\frac{x^4}{4}) + 8 (\frac{x^3}{3}) + 7 (\frac{x^2}{2}) - x + C$

$= -2x^5 - 3x^4 + \frac{8}{3}x^3 + \frac{7}{2}x^2 - x + C$

3. 最終的な答え

$-2x^5 - 3x^4 + \frac{8}{3}x^3 + \frac{7}{2}x^2 - x + C$