平均値の定理の条件について、閉区間 $[a, b]$ で連続、開区間 $(a, b)$ で微分可能というように、連続性と微分可能性で定義域が異なる理由を問う問題です。

1. 問題の内容

平均値の定理の条件について、閉区間 $[a, b]$ で連続、開区間 $(a, b)$ で微分可能というように、連続性と微分可能性で定義域が異なる理由を問う問題です。

2. 解き方の手順

平均値の定理を適用するためには、以下の2つの条件が必要です。

* 関数 $f(x)$ が閉区間 $[a, b]$ で連続であること。

* 関数 $f(x)$ が開区間 $(a, b)$ で微分可能であること。

**連続性について**

閉区間 $[a, b]$ で連続であるとは、$a \leq x \leq b$ のすべての $x$ において連続であることを意味します。特に、$x=a$ および $x=b$ においては、それぞれ右側連続と左側連続であることを意味します。これは、$x=a$ では右側から、$x=b$ では左側から近づく極限値が、それぞれの点での関数の値に一致することを意味します。

**微分可能性について**

開区間 $(a, b)$ で微分可能であるとは、$a < x < b$ のすべての $x$ において微分可能であることを意味します。関数が微分可能であるためには、その点において傾きを持つ接線を引ける必要があります。つまり、関数のグラフが滑らかにつながっている必要があります。

$x = a$ および $x = b$ において微分可能であることを要求しないのは、開区間 $(a, b)$ で定義されているため、これらの端点での微分可能性を定義する必要がないからです。もし閉区間で微分可能であることを要求すると、$x=a$ では右側微分係数が、$x=b$ では左側微分係数が存在する必要があるということになります。

$x=a$ および $x=b$ においては、片側微分係数のみを考えることができるため、開区間で微分可能という条件にすることで、平均値の定理の適用範囲を広げることができます。

3. 最終的な答え

平均値の定理において、閉区間 $[a, b]$ での連続性と開区間 $(a, b)$ での微分可能性を要求するのは、端点 $a$ と $b$ における微分可能性を考慮する必要がないからです。開区間で微分可能とすることで、端点における特殊な状況を回避し、定理の適用範囲を広げることができます。