与えられた不定積分 $\int (-5t^2 -2t + 3x^2) dt$ を計算する。ただし、$x$ は $t$ に無関係な定数とする。

1. 問題の内容

与えられた不定積分 $\int (-5t^2 -2t + 3x^2) dt$ を計算する。ただし、$x$ は $t$ に無関係な定数とする。

2. 解き方の手順

不定積分の性質を利用して、各項ごとに積分を行う。

$\int (f(t) + g(t)) dt = \int f(t) dt + \int g(t) dt$

$\int c \cdot f(t) dt = c \cdot \int f(t) dt$

ここで、$x$ は $t$ に無関係なので定数として扱える。

$\int t^n dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C$

積分を計算する：

$\int (-5t^2 - 2t + 3x^2) dt = \int -5t^2 dt + \int -2t dt + \int 3x^2 dt$

$= -5 \int t^2 dt - 2 \int t dt + 3x^2 \int 1 dt$

$= -5 \cdot \frac{t^3}{3} - 2 \cdot \frac{t^2}{2} + 3x^2 \cdot t + C$

$= -\frac{5}{3}t^3 - t^2 + 3x^2t + C$

3. 最終的な答え

$-\frac{5}{3}t^3 - t^2 + 3x^2t + C$