不定積分 $\int (-3x^3 + 4x^2 - 3x + 3t^2 - t) dx$ を計算する。ただし、$t$ は $x$ に無関係である。

1. 問題の内容

不定積分 $\int (-3x^3 + 4x^2 - 3x + 3t^2 - t) dx$ を計算する。ただし、$t$ は $x$ に無関係である。

2. 解き方の手順

与えられた関数を項ごとに積分する。

$\int -3x^3 dx = -3 \int x^3 dx = -3 \cdot \frac{x^4}{4} = -\frac{3}{4}x^4$

$\int 4x^2 dx = 4 \int x^2 dx = 4 \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{4}{3}x^3$

$\int -3x dx = -3 \int x dx = -3 \cdot \frac{x^2}{2} = -\frac{3}{2}x^2$

$\int 3t^2 dx = 3t^2 \int dx = 3t^2 x$

$\int -t dx = -t \int dx = -tx$

これらの積分を合計し、積分定数 $C$ を加える。

$\int (-3x^3 + 4x^2 - 3x + 3t^2 - t) dx = -\frac{3}{4}x^4 + \frac{4}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 3t^2x - tx + C$

3. 最終的な答え

$-\frac{3}{4}x^4 + \frac{4}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 3t^2x - tx + C$