与えられた導関数 $F'(x) = -6x^2 + 10x - 2$ と条件 $F(-2) = 23$ を満たす関数 $F(x)$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた導関数 $F'(x) = -6x^2 + 10x - 2$ と条件 $F(-2) = 23$ を満たす関数 $F(x)$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた導関数 $F'(x)$ を積分して、$F(x)$ を求める。

$F'(x) = -6x^2 + 10x - 2$ より、

$$F(x) = \int (-6x^2 + 10x - 2) dx$$

積分を実行すると、

$$F(x) = -6\int x^2 dx + 10\int x dx - 2\int dx$$

$$F(x) = -6\frac{x^3}{3} + 10\frac{x^2}{2} - 2x + C$$

$$F(x) = -2x^3 + 5x^2 - 2x + C$$

ここで、$C$ は積分定数である。次に、条件 $F(-2) = 23$ を用いて積分定数 $C$ の値を求める。

$x = -2$ を代入すると、

$$F(-2) = -2(-2)^3 + 5(-2)^2 - 2(-2) + C = 23$$

$$F(-2) = -2(-8) + 5(4) + 4 + C = 23$$

$$16 + 20 + 4 + C = 23$$

$$40 + C = 23$$

$$C = 23 - 40$$

$$C = -17$$

したがって、関数 $F(x)$ は次のようになる。

$$F(x) = -2x^3 + 5x^2 - 2x - 17$$

3. 最終的な答え

$F(x) = -2x^3 + 5x^2 - 2x - 17$