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次の定積分を求めよ。 $\int_{1}^{2} (\frac{3}{10}x^2 - \frac{2}{10}x + \frac{3}{10})dx$

解析学定積分積分計算
2025/4/7

1. 問題の内容

次の定積分を求めよ。
∫12(310x2−210x+310)dx\int_{1}^{2} (\frac{3}{10}x^2 - \frac{2}{10}x + \frac{3}{10})dx

2. 解き方の手順

まず、不定積分を計算します。
∫(310x2−210x+310)dx=310⋅x33−210⋅x22+310x+C=110x3−110x2+310x+C\int (\frac{3}{10}x^2 - \frac{2}{10}x + \frac{3}{10})dx = \frac{3}{10} \cdot \frac{x^3}{3} - \frac{2}{10} \cdot \frac{x^2}{2} + \frac{3}{10}x + C = \frac{1}{10}x^3 - \frac{1}{10}x^2 + \frac{3}{10}x + C
次に、定積分の値を求めます。
∫12(310x2−210x+310)dx=[110x3−110x2+310x]12\int_{1}^{2} (\frac{3}{10}x^2 - \frac{2}{10}x + \frac{3}{10})dx = [\frac{1}{10}x^3 - \frac{1}{10}x^2 + \frac{3}{10}x]_{1}^{2}
=(110(2)3−110(2)2+310(2))−(110(1)3−110(1)2+310(1))= (\frac{1}{10}(2)^3 - \frac{1}{10}(2)^2 + \frac{3}{10}(2)) - (\frac{1}{10}(1)^3 - \frac{1}{10}(1)^2 + \frac{3}{10}(1))
=(810−410+610)−(110−110+310)= (\frac{8}{10} - \frac{4}{10} + \frac{6}{10}) - (\frac{1}{10} - \frac{1}{10} + \frac{3}{10})
=1010−310= \frac{10}{10} - \frac{3}{10}
=710= \frac{7}{10}

3. 最終的な答え

710\frac{7}{10}

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