不定積分 $\int (x+1)(3x-1) \, dx$ を求めよ。ただし、積分定数を $C$ とする。

1. 問題の内容

不定積分 $\int (x+1)(3x-1) \, dx$ を求めよ。ただし、積分定数を $C$ とする。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を展開します。

$(x+1)(3x-1) = 3x^2 - x + 3x - 1 = 3x^2 + 2x - 1$

次に、展開した式を積分します。

$\int (3x^2 + 2x - 1) \, dx = \int 3x^2 \, dx + \int 2x \, dx - \int 1 \, dx$

それぞれの項を積分します。

$\int 3x^2 \, dx = 3 \int x^2 \, dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3$

$\int 2x \, dx = 2 \int x \, dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2$

$\int 1 \, dx = x$

したがって、

$\int (3x^2 + 2x - 1) \, dx = x^3 + x^2 - x + C$

3. 最終的な答え

$f(x) = x^3 + x^2 - x + C$