定積分 $\int_{-1}^{2} (9x^2+8x+7)dx + \int_{2}^{3} (9x^2+8x+7)dx$ の値を求めます。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-1}^{2} (9x^2+8x+7)dx + \int_{2}^{3} (9x^2+8x+7)dx$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2つの定積分を1つの定積分にまとめます。積分区間が連続しているため、

$$\int_{-1}^{2} (9x^2+8x+7)dx + \int_{2}^{3} (9x^2+8x+7)dx = \int_{-1}^{3} (9x^2+8x+7)dx$$

次に、被積分関数 $9x^2+8x+7$ の不定積分を求めます。

$$\int (9x^2+8x+7)dx = 9 \int x^2 dx + 8 \int x dx + 7 \int dx = 9 \cdot \frac{x^3}{3} + 8 \cdot \frac{x^2}{2} + 7x + C = 3x^3 + 4x^2 + 7x + C$$

ここで、$C$は積分定数です。

したがって、定積分は

$$\int_{-1}^{3} (9x^2+8x+7)dx = [3x^3+4x^2+7x]_{-1}^{3}$$

これを計算すると、

$$[3(3)^3+4(3)^2+7(3)] - [3(-1)^3+4(-1)^2+7(-1)] = [3(27)+4(9)+21] - [3(-1)+4(1)-7]$$

$$= [81+36+21] - [-3+4-7] = 138 - (-6) = 138 + 6 = 144$$

3. 最終的な答え

144