次の定積分の値を求めます。 $\int_{0}^{2} (12x^2 - 4x + 3) dx + \int_{-1}^{0} (12x^2 - 4x + 3) dx$

1. 問題の内容

次の定積分の値を求めます。

$\int_{0}^{2} (12x^2 - 4x + 3) dx + \int_{-1}^{0} (12x^2 - 4x + 3) dx$

2. 解き方の手順

まず、与えられた定積分を計算します。

$\int (12x^2 - 4x + 3) dx = 12\int x^2 dx - 4\int x dx + 3\int dx = 12 \cdot \frac{x^3}{3} - 4 \cdot \frac{x^2}{2} + 3x + C = 4x^3 - 2x^2 + 3x + C$

次に、それぞれの積分区間で定積分を計算します。

$\int_{0}^{2} (12x^2 - 4x + 3) dx = [4x^3 - 2x^2 + 3x]_0^2 = (4(2^3) - 2(2^2) + 3(2)) - (0) = 4(8) - 2(4) + 6 = 32 - 8 + 6 = 30$

$\int_{-1}^{0} (12x^2 - 4x + 3) dx = [4x^3 - 2x^2 + 3x]_{-1}^0 = (0) - (4(-1)^3 - 2(-1)^2 + 3(-1)) = 0 - (-4 - 2 - 3) = 0 - (-9) = 9$

最後に、二つの定積分の結果を足し合わせます。

$\int_{0}^{2} (12x^2 - 4x + 3) dx + \int_{-1}^{0} (12x^2 - 4x + 3) dx = 30 + 9 = 39$

3. 最終的な答え

39