直線 $y = 2x$ と点 $A(0, 2)$ の間の距離を求める問題です。ただし、直線と点Aの距離とは、直線上の点と点A間の長さの最小値（つまり、点Aから直線に下ろした垂線の長さ）を指します。

1. 問題の内容

直線 $y = 2x$ と点 $A(0, 2)$ の間の距離を求める問題です。ただし、直線と点Aの距離とは、直線上の点と点A間の長さの最小値（つまり、点Aから直線に下ろした垂線の長さ）を指します。

2. 解き方の手順

点と直線の距離の公式を使用します。直線の方程式を一般形 $ax + by + c = 0$ に変形し、点 $A(x_0, y_0)$ との距離を求める公式は次の通りです。

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

まず、直線 $y = 2x$ を一般形に変形します。

$2x - y = 0$

したがって、$a = 2$, $b = -1$, $c = 0$ となります。

点Aの座標は $(x_0, y_0) = (0, 2)$ です。

これらの値を公式に代入します。

$d = \frac{|2(0) + (-1)(2) + 0|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}}$

$d = \frac{|-2|}{\sqrt{4 + 1}}$

$d = \frac{2}{\sqrt{5}}$

分母を有理化するために、分子と分母に $\sqrt{5}$ を掛けます。

$d = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

3. 最終的な答え

$\frac{2\sqrt{5}}{5}$