3次不等式 $x^3 + 5x^2 - 13x + 7 > 0$ を解く。

1. 問題の内容

3次不等式 $x^3 + 5x^2 - 13x + 7 > 0$ を解く。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = x^3 + 5x^2 - 13x + 7$ とおく。

$f(1) = 1 + 5 - 13 + 7 = 0$ であるから、$f(x)$ は $x-1$ を因数に持つ。

$f(x)$ を $x-1$ で割ると、

$x^3 + 5x^2 - 13x + 7 = (x-1)(x^2 + 6x - 7)$ となる。

さらに、$x^2 + 6x - 7 = (x-1)(x+7)$ であるから、

$f(x) = (x-1)(x^2 + 6x - 7) = (x-1)(x-1)(x+7) = (x-1)^2(x+7)$ と因数分解できる。

したがって、不等式は $(x-1)^2(x+7) > 0$ となる。

$(x-1)^2 \geq 0$ であり、$(x-1)^2 = 0$ となるのは $x=1$ のときのみである。

したがって、$(x-1)^2(x+7) > 0$ となるのは、$x+7 > 0$ かつ $x \neq 1$ のときである。

$x+7 > 0$ より、$x > -7$ である。

$x \neq 1$ より、$x > -7$ かつ $x \neq 1$ が解となる。

3. 最終的な答え

$x > -7$ かつ $x \neq 1$

すなわち、$-7 < x < 1$ または $x > 1$