2点A(4,2), B(-2,2)を通り、x軸に接する円の方程式と中心の座標を求める。

1. 問題の内容

2点A(4,2), B(-2,2)を通り、x軸に接する円の方程式と中心の座標を求める。

2. 解き方の手順

円の方程式を $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ とおく。

円が点A(4,2)を通るので、

$(4-a)^2 + (2-b)^2 = r^2$ ...(1)

円が点B(-2,2)を通るので、

$(-2-a)^2 + (2-b)^2 = r^2$ ...(2)

円がx軸に接するので、$r = |b|$ より、$r^2 = b^2$ ...(3)

(1)と(2)より、

$(4-a)^2 + (2-b)^2 = (-2-a)^2 + (2-b)^2$

$(4-a)^2 = (-2-a)^2$

$16 - 8a + a^2 = 4 + 4a + a^2$

$12 = 12a$

$a = 1$

(1)に$a=1$と(3)を代入すると、

$(4-1)^2 + (2-b)^2 = b^2$

$9 + 4 - 4b + b^2 = b^2$

$13 - 4b = 0$

$4b = 13$

$b = \frac{13}{4}$

よって、$r^2 = (\frac{13}{4})^2 = \frac{169}{16}$

円の方程式は、

$(x-1)^2 + (y-\frac{13}{4})^2 = \frac{169}{16}$

$x^2 - 2x + 1 + y^2 - \frac{13}{2}y + \frac{169}{16} = \frac{169}{16}$

$x^2 + y^2 - 2x - \frac{13}{2}y + 1 = 0$

3. 最終的な答え

円の方程式: $(x-1)^2 + (y-\frac{13}{4})^2 = \frac{169}{16}$

中心の座標: $(1, \frac{13}{4})$