関数 $y = x^2 + 4x + 2$ の $-3 \leq x \leq 1$ の範囲における最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 + 4x + 2$ の $-3 \leq x \leq 1$ の範囲における最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

$y = x^2 + 4x + 2 = (x^2 + 4x + 4) - 4 + 2 = (x + 2)^2 - 2$

この関数は、頂点が $(-2, -2)$ の下に凸の放物線です。

次に、定義域 $-3 \leq x \leq 1$ における関数の値を考えます。

頂点の $x$ 座標である $x = -2$ は定義域に含まれます。

$x = -3$ のとき、$y = (-3 + 2)^2 - 2 = (-1)^2 - 2 = 1 - 2 = -1$

$x = -2$ のとき、$y = (-2 + 2)^2 - 2 = 0 - 2 = -2$

$x = 1$ のとき、$y = (1 + 2)^2 - 2 = 3^2 - 2 = 9 - 2 = 7$

定義域の端点と頂点における $y$ の値を比較すると、

$x = 1$ で最大値 $7$ をとり、$x = -2$ で最小値 $-2$ をとることがわかります。

3. 最終的な答え

最大値: 7 ($x = 1$ のとき)

最小値: -2 ($x = -2$ のとき)